機器人幾何的兩個方向

運動學：運動中的幾何

運動學是研究不考慮力的運動。在機器人技術中，它是純粹的幾何：關節角度和末端執行器位置之間的關係。

正向運動學(FK)：給定所有關節角度 → 計算末端執行器的位置和方向。這是「簡單」的方向。

對於2連桿平面臂：如果關節1的角度為θ₁，關節2的角度為θ₂，連桿長度為L₁和L₂，末端執行器位於：

- x = L₁ cos(θ₁) + L₂ cos(θ₁ + θ₂)

- y = L₁ sin(θ₁) + L₂ sin(θ₁ + θ₂)

對於6軸臂，正向運動學使用齊次變換矩陣鏈：每個關節貢獻一個4×4矩陣，編碼旋轉和平移。將全部六個矩陣相乘以得到末端執行器位姿。這是機械性的，但總是產生一個唯一的答案。

反向運動學(IK)：給定所需的末端執行器位置和方向 → 計算實現它的關節角度。這是「困難」的方向。

反向運動學很困難，因為：

- 多重解：6軸臂通常可以以多種配置到達同一點（肘部向上與肘部向下、手腕翻轉與不翻轉）。可能有8個或更多有效解。

- 無解：如果目標超出工作空間，則沒有關節角度有效。

- 奇異性：在某些位姿，兩個關節軸對齐，機器人失去一個自由度：如萬向節鎖定。在奇異性附近，小的笛卡爾運動需要巨大的關節速度。

反向運動學：為什麼困難？

考慮一個簡單的2連桿平面臂，L₁ = L₂ = 1米。末端執行器需要到達點(1.0, 1.0)。

從基部到目標的距離是sqrt(1² + 1²) = sqrt(2) ≈ 1.414 m。由於L₁ + L₂ = 2 m > 1.414 m，該點是可到達的。

可達性的形狀

工作空間：機器人可以到達的幾何體積

工作空間包絡線是末端執行器可以到達的所有點的集合。其形狀完全取決於機器人的幾何結構。

鉸接臂(6軸)：工作空間大致是一個空心球體。外邊界在最大到達距離(所有連桿伸展)。內邊界存在是因為臂無法足夠地向後折疊以到達靠近基部的點。截面看起來像甜甜圈(圓環)。

SCARA：工作空間是一個圓柱體。臂在水平方向掃過(產生圓形截面)，Z軸沿垂直方向運動。結果是一個平底圓柱形體積：水平到達範圍寬廣，垂直有限。

笛卡爾/門式：工作空間是一個矩形盒子。每個軸沿一個尺度線性移動。簡單、可預測、易於編程：但很笨重，因為機器人必須與其工作空間一樣大。

工作空間中的奇異性：在某些位姿，機器人失去一個自由度。完全伸展的鉸接臂(在其工作空間的外邊界處)處於奇異性：它無法進一步向外移動末端執行器。當兩個手腕關節軸對齐時出現腕部奇異性。在奇異性處，雅可比矩陣失去秩，機器人的有效自由度暫時減少。

靈巧工作空間 vs. 可達工作空間：可達工作空間是末端執行器至少可以以一種方向到達的地方。靈巧工作空間是可以實現任何任意方向的地方。靈巧工作空間總是可達工作空間的子集：且通常小得多。

通過工作空間選擇機器人

一個工廠車間有三個站點排列成L形。站點A在左邊，站點B直接在前面，站點C在右邊並略微升高(300毫米高)。機器人必須從A拿起零件，在B執行操作，並從單一安裝位置將成品放在C。

組態空間：機器人的抽象幾何

組態空間：運動規劃的生活場所

組態空間(C-space)是機器人技術中最強大的幾何抽象之一。與其思考機器人的物理形狀，不如將其整個狀態表示為N維空間中的單個點。

對於有N個關節的機器人，C空間有N個尺度：每個關節角度一個軸。機器人的每種可能位姿都是C空間中的單個點。運動(位姿序列)是通過C空間的曲線。

C空間中的障礙物：真實世界中的物理障礙物在C空間中變成一個禁區。如果將機器人置於關節角度(θ₁, θ₂, ..., θN)會導致碰撞，該點在C空間障礙物內部。C空間障礙物的形狀是複雜的：真實世界中的簡單盒子在C空間中變成奇形怪狀的區域。

路徑規劃 = 找到無碰撞曲線：給定起始組態(C空間中的一個點)和目標組態(另一個點)，找到連接它們的連續曲線，不進入任何禁區。

算法：

- A*(基於網格)：將C空間離散化為網格，搜索最短路徑。在低維(2-3自由度)中效果良好，但網格大小隨維度呈指數增長。

- RRT(快速探索隨機樹)：在C空間中構建隨機樣本樹，向未探索區域增長。在高維(6+自由度)中工作。不是最優的，但在找到可行路徑時很快。

- PRM(概率路線圖)：預先計算隨機無碰撞組態圖，然後搜索圖。適合在同一環境中進行重複查詢。

幾何洞察：6自由度機器人的路徑規劃問題是一個通過6D空間的曲線問題。維度使精確解不可行：概率方法(RRT、PRM)是實用方法。

組態空間思考

一個2連桿平面臂(2自由度)在有單一矩形障礙物的房間中運作。關節1的範圍從0°到360°，關節2的範圍從0°到360°。組態空間是一個2D正方形：θ₁在一個軸上，θ₂在另一個軸上。