Hai Hướng của Hình học Robot

Động học: Hình học trong Chuyển động

Động học là nghiên cứu chuyển động mà không xét lực. Trong robotics, nó là hình học thuần: mối quan hệ giữa các góc khớp & vị trí & hướng của chi tiết cuối cùng.

Động học thuận (FK): Cho tất cả các góc khớp → tính toán vị trí & hướng của chi tiết cuối cùng. Đây là hướng 'dễ'.

Đối với cánh tay phẳng 2 liên kết: nếu khớp 1 ở góc θ₁ & khớp 2 ở góc θ₂, với độ dài liên kết L₁ & L₂, chi tiết cuối cùng ở:

- x = L₁ cos(θ₁) + L₂ cos(θ₁ + θ₂)

- y = L₁ sin(θ₁) + L₂ sin(θ₁ + θ₂)

Đối với cánh tay 6 trục, FK sử dụng một chuỗi ma trận biến đổi đẳng cấp: mỗi khớp đóng góp một ma trận 4×4 mã hóa quay & dịch. Nhân tất cả sáu ma trận với nhau để nhận được tư thế chi tiết cuối cùng. Đó là cơ học nhưng luôn tạo ra một câu trả lời duy nhất.

Động học nghịch (IK): Cho vị trí & hướng chi tiết cuối cùng mong muốn → tính toán các góc khớp đạt được nó. Đây là hướng 'khó'.

IK khó vì:

- Nhiều giải pháp: Một cánh tay 6 trục thường có thể đạt đến cùng một điểm trong nhiều cấu hình (khuỷu lên so với khuỷu xuống, cổ tay lật so với không). Có thể có 8 hay nhiều hơn các giải pháp hợp lệ.

- Không có giải pháp: Nếu mục tiêu ở ngoài không gian làm việc, không có góc khớp nào hoạt động.

- Điểm kỳ dị: Ở các tư thế nhất định, hai trục khớp thẳng hàng & robot mất một DOF: giống như khóa gimbal. Gần các điểm kỳ dị, các chuyển động Descartes nhỏ yêu cầu vận tốc khớp khổng lồ.

Động học Nghịch: Tại sao Nó Lại Khó?

Xem xét một cánh tay phẳng 2 liên kết đơn giản với L₁ = L₂ = 1 mét. Chi tiết cuối cùng cần đạt đến điểm (1.0, 1.0).

Khoảng cách từ đế đến mục tiêu là sqrt(1² + 1²) = sqrt(2) ≈ 1.414 m. Vì L₁ + L₂ = 2 m > 1.414 m, điểm có thể đạt được.

Hình dạng của Khả năng Tiếp cận

Không gian Làm việc: Khối lượng Hình học Robot Có thể Tiếp cận

Bao phủ không gian làm việc là tập hợp tất cả các điểm mà chi tiết cuối cùng có thể tiếp cận. Hình dạng của nó phụ thuộc hoàn toàn vào hình học của robot.

Cánh tay khớp (6 trục): Không gian làm việc là đại loại một hình cầu rỗng. Ranh giới bên ngoài ở độ tiếp cận tối đa (tất cả liên kết kéo dãn). Ranh giới bên trong tồn tại vì cánh tay không thể gập lại trên chính nó đủ để tiếp cận các điểm quá gần với đế. Mặt cắt ngang trông giống như một bánh doughnut (torus).

SCARA: Không gian làm việc là một hình trụ. Cánh tay quét theo chiều ngang (tạo ra một mặt cắt ngang tròn) & trục Z di chuyển theo chiều dọc. Kết quả là một khối hình trụ phẳng: tiếp cận rộng theo chiều ngang, giới hạn theo chiều dọc.

Cartesian/Gantry: Không gian làm việc là một hộp hình chữ nhật. Mỗi trục di chuyển tuyến tính theo một chiều. Đơn giản, dự đoán được, dễ lập trình: nhưng cô đơn vì robot phải lớn bằng không gian làm việc của nó.

Điểm kỳ dị trong không gian làm việc: Ở các tư thế nhất định, robot mất một DOF. Một cánh tay khớp được kéo dãn hoàn toàn (ở ranh giới ngoài của không gian làm việc của nó) ở một điểm kỳ dị: nó không thể di chuyển chi tiết cuối cùng thêm hướng ra ngoài. Điểm kỳ dị cổ tay xảy ra khi hai trục khớp cổ tay thẳng hàng. Ở một điểm kỳ dị, ma trận Jacobian mất rank, & DOF hiệu quả của robot giảm tạm thời.

Không gian làm việc khéo léo so với không gian làm việc có thể tiếp cận: Không gian làm việc có thể tiếp cận là nơi chi tiết cuối cùng có thể tiếp cận ít nhất một hướng. Không gian làm việc khéo léo là nơi nó có thể đạt được bất kỳ hướng tùy ý nào. Không gian làm việc khéo léo luôn là một tập con của không gian làm việc có thể tiếp cận: & thường nhỏ hơn nhiều.

Chọn Robot theo Không gian Làm việc

Một tế bào nhà máy có ba trạm sắp xếp theo hình chữ L. Trạm A ở bên trái, Trạm B ở phía trước trực tiếp, Trạm C ở bên phải & hơi nâng cao (300 mm cao hơn). Robot phải lấy các bộ phận từ A, thực hiện một thao tác tại B, & đặt các bộ phận hoàn chỉnh tại C: tất cả từ một vị trí gắn kết duy nhất.

Không gian Cấu hình: Hình học Trừu tượng của Robot

Không gian Cấu hình: Nơi Lập kế hoạch Chuyển động Sống

Không gian cấu hình (C-space) là một trong những trừu tượng hình học mạnh mẽ nhất trong robotics. Thay vì suy nghĩ về hình dạng vật lý của robot, hãy biểu diễn trạng thái toàn bộ của nó dưới dạng một điểm duy nhất trong một không gian N chiều.

Đối với một robot có N khớp, C-space có N chiều: một trục trên mỗi góc khớp. Mọi tư thế có thể của robot là một điểm duy nhất trong C-space. Một chuyển động (trình tự tư thế) là một đường cong qua C-space.

Chướng ngại vật trong C-space: Một chướng ngại vật vật lý trong thế giới thực trở thành một vùng bị cấm trong C-space. Nếu đặt robot ở các góc khớp (θ₁, θ₂, ..., θN) sẽ gây ra va chạm, điểm đó nằm bên trong một chướng ngại vật C-space. Hình dạng của các chướng ngại vật C-space phức tạp: một hộp đơn giản trong thế giới thực trở thành một vùng có hình dạng kỳ lạ trong C-space.

Lập kế hoạch đường đi = tìm một đường cong không va chạm: Cho một cấu hình bắt đầu (điểm trong C-space) & một cấu hình mục tiêu (một điểm khác), hãy tìm một đường cong liên tục kết nối chúng mà không nhập vào bất kỳ vùng bị cấm nào.

Thuật toán:

- A* (dựa trên lưới): Rời rạc hóa C-space thành lưới, tìm kiếm đường dẫn ngắn nhất. Hoạt động tốt ở kích thước thấp (2-3 DOF) nhưng kích thước lưới phát nổ theo cấp số nhân theo chiều.

- RRT (Rapidly-Exploring Random Tree): Xây dựng một cây mẫu ngẫu nhiên trong C-space, phát triển hướng các vùng chưa được khám phá. Hoạt động ở kích thước cao (6+ DOF). Không tối ưu nhưng nhanh chóng tìm đường dẫn khả thi.

- PRM (Probabilistic Roadmap): Tính toán trước một biểu đồ của các cấu hình không va chạm ngẫu nhiên, sau đó tìm kiếm biểu đồ. Tốt cho các truy vấn lặp lại trong cùng một môi trường.

Cái nhìn sâu sắc về hình học: vấn đề lập kế hoạch đường đi của robot 6-DOF là vấn đề đường cong-qua-không gian-6D. Kích thước làm cho các giải pháp chính xác không khả thi: các phương pháp xác suất (RRT, PRM) là cách tiếp cận thực tế.

Tư duy Không gian Cấu hình

Một cánh tay phẳng 2 liên kết (2 DOF) hoạt động trong một phòng có một chướng ngại vật hình chữ nhật đơn giản. Khớp 1 nằm trong khoảng từ 0° đến 360°, khớp 2 nằm trong khoảng từ 0° đến 360°. Không gian cấu hình là một hình vuông 2D: θ₁ trên một trục, θ₂ trên trục kia.