Два напрями геометрії робота

Кінематика: геометрія в русі

Кінематика — це вивчення руху без урахування сил. У робототехніці це чиста геометрія: взаємозв'язок між кутами суглобів та положенням & орієнтацією захоплюючого пристрою.

Прямо спрямована кінематика (FK): Дані всі кути суглобів → обчисліть положення & орієнтацію захоплюючого пристрою. Це 'легкий' напрям.

Для 2-ланкової плоскої руки: якщо суглоб 1 має кут θ₁ & суглоб 2 має кут θ₂, з довжинами ланок L₁ & L₂, захоплюючий пристрій знаходиться в:

- x = L₁ cos(θ₁) + L₂ cos(θ₁ + θ₂)

- y = L₁ sin(θ₁) + L₂ sin(θ₁ + θ₂)

Для 6-осьової руки, FK використовує ланцюг однорідних матриць трансформації: кожен суглоб вносить матрицю 4×4, що кодує обертання та трансляцію. Помножте всі шість матриць разом, щоб отримати позу захоплюючого пристрою. Це механічно, але завжди дає унікальну відповідь.

Зворотна кінематика (IK): Дані бажане положення & орієнтація захоплюючого пристрою → обчисліть кути суглобів, які це досягають. Це 'складний' напрям.

IK складна, тому що:

- Множинні рішення: 6-осьова рука часто може досягти однієї точки в кількох конфігураціях (ліктьовий угорі проти ліктьового внизу, зап'ясток перевернутий проти не). Може бути 8 або більше допустимих рішень.

- Немає рішень: Якщо ціль знаходиться поза робочою областю, ніякі кути суглобів не працюють.

- Сингулярності: На деяких позах дві осі суглобів вирівнюються, і робот втрачає DOF: як блокування карданного підвісу. Поблизу сингулярностей малі декартові рухи потребують величезні швидкості суглобів.

Зворотна кінематика: чому це складно?

Розглянемо просту 2-ланкову плоску руку з L₁ = L₂ = 1 метр. Захоплюючий пристрій повинен досягти точку (1.0, 1.0).

Відстань від основи до цілі дорівнює sqrt(1² + 1²) = sqrt(2) ≈ 1.414 м. Оскільки L₁ + L₂ = 2 м > 1.414 м, точка є досяжною.

Форма досяжності

Робоча область: геометричний об'єм, який робот може досягти

Робоча область — це набір усіх точок, які захоплюючий пристрій може досягти. Її форма залежить цілком від геометрії робота.

Артикульована рука (6-осьова): Робоча область приблизно порожниста куля. Зовнішня межа знаходиться при максимальному досяганні (усі ланки витягнені). Внутрішня межа існує, тому що рука не може достатньо складатися назад, щоб досягти точок занадто близько до основи. Переріз виглядає як пончик (тор).

SCARA: Робоча область — це циліндр. Рука рухається горизонтально (генеруючи круговий переріз) і вісь Z рухається вертикально. Результат — плоска циліндрична область: широкий горизонтальний досяг, обмежена вертикально.

Декартова/портальна: Робоча область — це прямокутний ящик. Кожна вісь рухається лінійно в одному вимірі. Просто, передбачувано, легко програмується: але громіздко, тому що робот повинен бути настільки ж великим, як його робоча область.

Сингулярності в робочій області: На деяких позах робот втрачає DOF. Повністю витягнута артикульована рука (на зовнішній межі своєї робочої області) знаходиться у сингулярності: вона не може рухати захоплюючий пристрій далі назовні. Сингулярності зап'ястка виникають, коли дві осі суглобів зап'ястка вирівнюються. У сингулярності матриця Якобіана втрачає ранг, і ефективний DOF робота тимчасово зменшується.

Спритна робоча область проти досяжна робоча область: досяжна робоча область — це місце, де захоплюючий пристрій може досягти щонайменше в одній орієнтації. Спритна робоча область — це коли вона може досягти будь-якої довільної орієнтації. Спритна робоча область завжди є підмножиною досяжної робочої області: і часто набагато менша.

Вибір робота за робочою областю

Виробничої комірці мають три станції, розташовані L-подібно. Станція A — ліворуч, станція B — прямо вперед, станція C — праворуч і трохи вище (300 мм вище). Робот повинен захоплювати деталі з A, виконувати операцію на B & розміщати готові деталі на C: все з однієї точки монтування.

Простір конфігурацій: абстрактна геометрія робота

Простір конфігурацій: де живе планування руху

Простір конфігурацій (C-простір) — одна з найпотужніших геометричних абстракцій у робототехніці. Замість того, щоб думати про фізичну форму робота, представте весь його стан як одну точку в N-вимірному просторі.

Для робота з N суглобів, C-простір має N вимірів: одна вісь на кут суглоба. Кожна можлива поза робота — це одна точка в C-просторі. Рух (послідовність поз) — це крива через C-простір.

Перешкоди в C-просторі: Фізична перешкода в реальному світі стає заборонена область в C-просторі. Якщо розміщення робота під кутами суглобів (θ₁, θ₂, ..., θN) призведе до зіткнення, ця точка знаходиться всередину C-простору перешкоди. Форма C-простору перешкод складна: простий ящик у реальному світі стає дивно оформленою регіоном у C-просторі.

Планування шляху = пошук криволінійного шляху без зіткнень: Дано стартову конфігурацію (точку в C-просторі) & цільову конфігурацію (іншу точку), знайдіть безперервну криву, яка їх з'єднує, не входячи в жодну заборонену область.

Алгоритми:

- A* (на основі сітки): Розділіть C-простір на сітку, шукайте найкоротший шлях. Добре працює в низьких вимірах (2-3 DOF), але розмір сітки експоненціально зростає з виміром.

- RRT (швидко дослідожуюче випадкове дерево): Побудуйте дерево випадкових зразків у C-просторі, зростаючи до неекспльованих регіонів. Працює в високих вимірах (6+ DOF). Не оптимальні, але швидко знаходять можливі шляхи.

- PRM (ймовірнісна дорожна карта): Попередньо обчисліть граф випадкових конфігурацій без зіткнень, потім шукайте граф. Хороший для повторюваних запитів в одному середовищі.

Геометричний висновок: планування шляху робота з 6 DOF — це проблема кривої в 6D просторі. Вимірність робить точні рішення невіддалені: імовірнісні методи (RRT, PRM) — практичний підхід.

Мислення в просторі конфігурацій

2-ланкова плоска рука (2 DOF) працює в кімнаті з однією прямокутною перешкодою. Суглоб 1 змінюється від 0° до 360°, суглоб 2 змінюється від 0° до 360°. Простір конфігурацій — це 2D квадрат: θ₁ на одній осі, θ₂ на іншій.