रोबोट ज्यामिति के दो दिशाएं

किनेमेटिक्स: गति में ज्यामिति

किनेमेटिक्स बल पर विचार किए बिना गति का अध्ययन है। रोबोटिक्स में, यह शुद्ध ज्यामिति है: जोड़ के कोण और एंड एफेक्टर की स्थिति के बीच संबंध।

फॉरवर्ड किनेमेटिक्स (FK): सभी जोड़ के कोण दिए गए → एंड एफेक्टर की स्थिति & अभिविन्यास की गणना करें। यह 'आसान' दिशा है।

एक 2-लिंक प्लानर भुजा के लिए: यदि जोड़ 1 कोण θ₁ पर है & जोड़ 2 कोण θ₂ पर है, लिंक लंबाई L₁ & L₂ के साथ, एंड एफेक्टर पर है:

- x = L₁ cos(θ₁) + L₂ cos(θ₁ + θ₂)

- y = L₁ sin(θ₁) + L₂ sin(θ₁ + θ₂)

एक 6-अक्ष भुजा के लिए, FK सजातीय रूपांतरण मैट्रिक्स की एक श्रृंखला का उपयोग करता है: प्रत्येक जोड़ एक 4×4 मैट्रिक्स में योगदान देता है जो घुमाव और अनुवाद को एन्कोड करता है। एंड एफेक्टर पोज़ प्राप्त करने के लिए सभी छह मैट्रिक्स को गुणा करें। यह यांत्रिक है लेकिन हमेशा एक अद्वितीय उत्तर देता है।

इनवर्स किनेमेटिक्स (IK): एक वांछित एंड एफेक्टर स्थिति & अभिविन्यास दिया गया → उसे प्राप्त करने वाले जोड़ के कोण की गणना करें। यह 'कठिन' दिशा है।

IK कठिन क्यों है:

- एकाधिक समाधान: एक 6-अक्ष भुजा अक्सर कई विन्यासों में एक ही बिंदु तक पहुंच सकता है (कोहनी ऊपर बनाम कोहनी नीचे, कलाई पलट गई बनाम नहीं)। 8 या अधिक मान्य समाधान हो सकते हैं।

- कोई समाधान नहीं: यदि लक्ष्य कार्यक्षेत्र से बाहर है, तो कोई जोड़ के कोण काम नहीं करते।

- विलक्षणताएं: कुछ पोज़ में, दो जोड़ की कुल्हाड़ियों को संरेखित करते हैं और रोबोट एक DOF खो देता है: जिंबल लॉक की तरह। विलक्षणताओं के निकट, छोटे कार्टेशियन आंदोलनों के लिए विशाल जोड़ के वेग की आवश्यकता होती है।

इनवर्स किनेमेटिक्स: यह कठिन क्यों है?

एक सरल 2-लिंक प्लानर भुजा पर विचार करें L₁ = L₂ = 1 मीटर के साथ। एंड एफेक्टर को बिंदु (1.0, 1.0) तक पहुंचना है।

आधार से लक्ष्य तक की दूरी sqrt(1² + 1²) = sqrt(2) ≈ 1.414 मीटर है। चूंकि L₁ + L₂ = 2 मीटर > 1.414 मीटर, बिंदु पहुंचने योग्य है।

पहुंचने योग्यता का आकार

कार्यक्षेत्र: ज्यामितीय मात्रा जो एक रोबोट पहुंच सकता है

कार्यक्षेत्र एनवेलप सभी बिंदुओं का समूह है जो एंड एफेक्टर तक पहुंच सकता है। इसका आकार पूरी तरह से रोबोट की ज्यामिति पर निर्भर करता है।

संहत भुजा (6-अक्ष): कार्यक्षेत्र मोटे तौर पर एक खोखले गोले जैसा है। बाहरी सीमा अधिकतम पहुंच पर है (सभी लिंक विस्तारित)। आंतरिक सीमा मौजूद है क्योंकि भुजा अपने आप को आधार के बहुत करीब के बिंदुओं तक पहुंचने के लिए पर्याप्त रूप से मोड़ नहीं सकता। क्रॉस-सेक्शन एक डोनट (टोरस) जैसा दिखता है।

SCARA: कार्यक्षेत्र एक सिलेंडर है। भुजा क्षैतिज रूप से झाड़ू (एक गोलाकार क्रॉस-सेक्शन उत्पन्न करते हुए) और Z-अक्ष लंबवत चलता है। परिणाम एक सपाट बेलनाकार मात्रा है: क्षैतिज रूप से व्यापक पहुंच, लंबवत सीमित।

कार्टेशियन/गैंट्री: कार्यक्षेत्र एक आयताकार बॉक्स है। प्रत्येक अक्ष एक आयाम के साथ रैखिक रूप से चलता है। सरल, भविष्यवाणीयोग्य, आसान प्रोग्राम: लेकिन भारी क्योंकि रोबोट को अपने कार्यक्षेत्र के रूप में बड़ा होना चाहिए।

कार्यक्षेत्र में विलक्षणताएं: कुछ पोज़ में, रोबोट एक DOF खो देता है। एक पूरी तरह से विस्तारित संहत भुजा (अपने कार्यक्षेत्र की बाहरी सीमा पर) एक विलक्षणता में है: यह एंड एफेक्टर को आगे स्थानांतरित नहीं कर सकता। कलाई विलक्षणताएं तब होती हैं जब दो कलाई संयुक्त कुल्हाड़ियों को संरेखित करते हैं। एक विलक्षणता पर, जैकोबियन मैट्रिक्स रैंक खो देता है, और रोबोट की प्रभावी DOF अस्थायी रूप से घट जाता है।

दक्षतापूर्ण कार्यक्षेत्र बनाम पहुंचने योग्य कार्यक्षेत्र: पहुंचने योग्य कार्यक्षेत्र वह है जहां एंड एफेक्टर कम से कम एक अभिविन्यास में पहुंच सकता है। दक्षतापूर्ण कार्यक्षेत्र वह है जहां यह कोई भी मनमाना अभिविन्यास प्राप्त कर सकता है। दक्षतापूर्ण कार्यक्षेत्र हमेशा पहुंचने योग्य कार्यक्षेत्र का एक सबसेट है: और अक्सर बहुत छोटा।

कार्यक्षेत्र द्वारा एक रोबोट चुनना

एक कारखाने में तीन स्टेशन एक L-आकार में व्यवस्थित हैं। स्टेशन A बाईं ओर है, स्टेशन B सीधे आगे है, स्टेशन C दाईं ओर है और थोड़ा ऊंचा है (300 मिमी अधिक)। रोबोट को A से भाग लेना चाहिए, B पर एक ऑपरेशन करना चाहिए, और C पर तैयार भागों को रखना चाहिए: सभी एक एकल माउंटिंग स्थिति से।

विन्यास स्पेस: रोबोट की अमूर्त ज्यामिति

विन्यास स्पेस: जहां गति योजना रहती है

विन्यास स्पेस (C-space) रोबोटिक्स में सबसे शक्तिशाली ज्यामितीय अमूर्तताओं में से एक है। रोबोट के भौतिक आकार के बारे में सोचने के बजाय, इसकी पूरी स्थिति को एक N-आयामी स्पेस में एक बिंदु के रूप में दर्शाएं।

N जोड़ के साथ एक रोबोट के लिए, C-space में N आयाम हैं: प्रति संयुक्त कोण एक अक्ष। रोबोट के हर संभावित पोज़ C-space में एक बिंदु है। एक गति (पोज़ का अनुक्रम) C-space के माध्यम से एक वक्र है।

C-space में बाधाएं: वास्तविक दुनिया में एक भौतिक बाधा C-space में एक निषेधित क्षेत्र बन जाती है। यदि रोबोट को संयुक्त कोण (θ₁, θ₂, ..., θN) पर रखते हुए टकराव होता है, तो वह बिंदु एक C-space बाधा के अंदर है। C-space बाधाओं का आकार जटिल है: वास्तविक दुनिया में एक सरल बॉक्स C-space में एक अजीब तरीके से आकृति वाला क्षेत्र बन जाता है।

पाथ प्लानिंग = एक टकराव-मुक्त वक्र खोजना: एक प्रारंभिक विन्यास (C-space में बिंदु) & एक लक्ष्य विन्यास (एक अन्य बिंदु) दिया गया, उन्हें जोड़ने वाले एक निरंतर वक्र को खोजें जो किसी भी निषेधित क्षेत्र में प्रवेश नहीं करता है।

एल्गोरिदम:

- A* (ग्रिड-आधारित): C-space को एक ग्रिड में विवेचना करें, सबसे छोटा पाथ खोजें। कम आयामों (2-3 DOF) में अच्छी तरह से काम करता है लेकिन ग्रिड आकार आयाम के साथ exponentially बढ़ता है।

- RRT (तेजी से अन्वेषण करने वाला यादृच्छिक वृक्ष): C-space में यादृच्छिक नमूनों का एक वृक्ष बनाएं, अन्वेषण किए गए क्षेत्रों की ओर बढ़ रहा है। उच्च आयामों (6+ DOF) में काम करता है। इष्टतम नहीं है लेकिन संभव पाथ खोजने में तेज है।

- PRM (संभाव्य रोडमैप): यादृच्छिक टकराव-मुक्त विन्यासों का एक ग्राफ पूर्व-गणना करें, फिर ग्राफ की खोज करें। एक ही पर्यावरण में बार-बार प्रश्नों के लिए अच्छा है।

ज्यामितीय अंतर्दृष्टि: एक 6-DOF रोबोट की पाथ प्लानिंग समस्या एक 6D-स्पेस के माध्यम से वक्र की समस्या है। आयामीता सटीक समाधानों को अक्षम बनाता है: संभाव्य तरीके (RRT, PRM) व्यावहारिक दृष्टिकोण हैं।

विन्यास स्पेस सोच

एक 2-लिंक प्लानर भुजा (2 DOF) एक कमरे में एक एकल आयताकार बाधा के साथ संचालित होता है। संयुक्त 1 0° से 360° तक रेंज करता है, संयुक्त 2 0° से 360° तक रेंज करता है। विन्यास स्पेस एक 2D वर्ग है: θ₁ एक अक्ष पर, θ₂ दूसरे पर।