它可以以多少种方式运动？
自由度：运动的几何学
自由度（DOF）是一个对象可以独立运动的一种方式。理解自由度是理解机器人如何与空间相互作用的第一步。
三维空间中的位置需要3个自由度：x（左/右）、y（前/后）、z（上/下）。空间中的一个点有3个自由度。
方向再增加3个：滚转（围绕前向轴的旋转）、俯仰（围绕侧向轴的旋转）、偏航（围绕竖直轴的旋转）。刚体在空间中有6个自由度：3个位置+3个方向。
机器人臂&自由度：
- 6轴关节臂（如工业机器人）有6个关节，每个关节增加1个自由度。有6个自由度，末端执行器可以在工作空间内到达任何位置和方向：它具有完全的空间自由度。
- 4轴SCARA机器人有4个自由度：它可以在平面内的任何地方定位并旋转，但无法倾斜其工具。适合在平面上进行拾取和放置。
- 3轴笛卡尔/门式机器人有3个自由度：它可以在盒形体积内的任何地方定位，但无法定向其工具。适合3D打印机。
超过6个自由度：7轴机器人是冗余的：它的自由度多于完全空间定位所需的自由度。额外的自由度使其能够绕过障碍物到达，就像人的手臂伸到东西后面。冗余是一个几何优势。
自由度与任务要求
工厂需要一个机器人来完成三个不同的任务：(A)在汽车车身面板上的三维曲线路径上分配胶水、(B)从传送带上拾取芯片并将其放置在平面电路板上、&(C)从多个角度焊接复杂的三维接头。
机器人几何的两个方向
运动学：运动中的几何学
运动学是研究不考虑力的运动。在机器人学中，它是纯几何学：关节角度和末端执行器位置之间的关系。
正运动学（FK）：给定所有关节角度→计算末端执行器的位置&方向。这是'简单'的方向。
对于2连杆平面臂：如果关节1处于角度θ₁，关节2处于角度θ₂，链接长度为L₁和L₂，则末端执行器位置为：
- x = L₁ cos(θ₁) + L₂ cos(θ₁ + θ₂)
- y = L₁ sin(θ₁) + L₂ sin(θ₁ + θ₂)
对于6轴臂，FK使用齐次变换矩阵的链：每个关节贡献一个4×4矩阵，编码旋转和平移。将所有六个矩阵相乘在一起以获得末端执行器姿态。这是机械的但总是产生唯一的答案。
逆运动学（IK）：给定期望的末端执行器位置&方向→计算实现它的关节角度。这是'困难'的方向。
IK很困难是因为：
- 多个解：6轴臂通常可以用多个配置到达同一点（肘部向上vs肘部向下，手腕翻转vs不翻转）。可能有8个或更多有效解。
- 无解：如果目标在工作空间外，没有关节角度有效。
- 奇异性：在某些姿态下，两个关节轴对齐，机器人失去一个自由度：如万向锁。在奇异性附近，小笛卡尔运动需要巨大的关节速度。
逆运动学：为什么这很困难？
考虑一个简单的2连杆平面臂，L₁ = L₂ = 1米。末端执行器需要到达点(1.0, 1.0)。
从基座到目标的距离是sqrt(1² + 1²) = sqrt(2) ≈ 1.414 m。由于L₁ + L₂ = 2 m > 1.414 m，该点是可到达的。
可达性的形状
工作空间：机器人可以到达的几何体积
工作空间范围是末端执行器可以到达的所有点的集合。其形状完全取决于机器人的几何结构。
关节臂（6轴）：工作空间大致是一个空心球体。外边界是最大到达距离（所有链接伸展）。内边界存在是因为臂不能足够地向后折叠以到达靠近底座的点。横截面看起来像甜甜圈（圆环）。
SCARA：工作空间是一个圆柱体。臂水平扫过（产生圆形横截面），Z轴垂直移动。结果是一个平的圆柱体积：水平到达范围广，垂直方向有限。
笛卡尔/门式：工作空间是一个矩形盒子。每个轴沿一个维度线性移动。简单、可预测、易于编程：但笨重，因为机器人必须与其工作空间一样大。
工作空间中的奇异性：在某些姿态下，机器人失去一个自由度。完全伸展的关节臂（在其工作空间的外边界）处于奇异性：它无法进一步向外移动末端执行器。当两个腕部关节轴对齐时发生腕部奇异性。在奇异性处，雅可比矩阵失去秩，机器人的有效自由度暂时减少。
灵巧工作空间vs可达工作空间：可达工作空间是末端执行器可以用至少一个方向到达的地方。灵巧工作空间是它可以实现任意方向的地方。灵巧工作空间总是可达工作空间的子集：并且通常小得多。
按工作空间选择机器人
工厂车间有三个工作站排列成L形。工作站A在左边，工作站B在正前方，工作站C在右边并略高（高300毫米）。机器人必须从A拾取零件，在B进行操作，并将完成的零件放置在C：所有这些都是从单个安装位置进行。
构型空间：机器人的抽象几何
构型空间：运动规划发生的地方
构型空间（C-space）是机器人学中最强大的几何抽象之一。不要思考机器人的物理形状，而是将其整个状态表示为N维空间中的单点。
对于有N个关节的机器人，C-space有N个维度：每个关节角一个轴。机器人的每个可能的姿态是C-space中的单点。运动（一系列姿态）是通过C-space的曲线。
C-space中的障碍：现实世界中的物理障碍变成C-space中的禁止区域。如果将机器人放置在关节角(θ₁, θ₂, ..., θN)会导致碰撞，该点位于C-space障碍内。C-space障碍的形状很复杂：现实世界中的简单盒子变成C-space中一个奇形怪状的区域。
路径规划=找到无碰撞曲线：给定起始构型（C-space中的点）和目标构型（另一个点），找到连接它们的连续曲线，不进入任何禁止区域。
算法：
- A*（基于网格）：将C-space离散化为网格，搜索最短路径。在低维度（2-3自由度）中效果很好，但网格大小随维度呈指数增长。
- RRT（快速探索随机树）：在C-space中构建随机样本的树，向未探索的区域增长。在高维度（6+自由度）中工作。不是最优的，但在找到可行路径时很快。
- PRM（概率路线图）：预计算随机无碰撞构型的图，然后搜索图。适合在同一环境中的重复查询。
几何洞察：6自由度机器人的路径规划问题是一个通过6D空间的曲线问题。维度使精确解不可行：概率方法（RRT、PRM）是实用的方法。
构型空间思维
2连杆平面臂（2自由度）在有单个矩形障碍的房间中工作。关节1范围从0°到360°，关节2范围从0°到360°。构型空间是一个2D正方形：一个轴上是θ₁，另一个轴上是θ₂。