ロボット幾何学の2つの方向

運動学：運動中の幾何学

運動学は力を考慮せずに運動を研究する分野です。ロボティクスでは、それは純粋な幾何学です：ジョイント角度とエンドエフェクタの位置の関係。

順運動学（FK）：すべてのジョイント角度が与えられている → エンドエフェクタの位置と方向を計算します。これは「簡単な」方向です。

2リンク平面アームの場合：ジョイント1が角度θ₁にあり、ジョイント2が角度θ₂にあり、リンク長がL₁とL₂の場合、エンドエフェクタは次の位置にあります：

- x = L₁ cos(θ₁) + L₂ cos(θ₁ + θ₂)

- y = L₁ sin(θ₁) + L₂ sin(θ₁ + θ₂)

6軸アームの場合、FKは同次変換行列のチェーンを使用します：各ジョイントは回転と並進をコードする4×4行列に寄与します。6つの行列をすべて乗算して、エンドエフェクタのポーズを取得します。それは機械的ですが、常に一意の答えを生成します。

逆運動学（IK）：目的のエンドエフェクタ位置と方向が与えられている → それを達成するジョイント角度を計算します。これは「難しい」方向です。

IKが難しい理由：

- 複数の解：6軸アームは同じ点に複数の構成でしばしば到達できます（肘上対肘下、手首反転対通常）。8以上の有効な解が存在する可能性があります。

- 解がない：ターゲットがワークスペースの外にある場合、どのジョイント角度も機能しません。

- 特異点：特定のポーズでは、2つのジョイント軸が整列し、ロボットはDOFを失います：ジンバルロックのような。特異点の近くでは、小さなデカルト運動は大きなジョイント速度を必要とします。

逆運動学：なぜそれは難しいのか

L₁ = L₂ = 1メートルの単純な2リンク平面アームを考えてください。エンドエフェクタは点（1.0、1.0）に到達する必要があります。

ベースからターゲットまでの距離はsqrt(1² + 1²) = sqrt(2) ≈ 1.414 m。L₁ + L₂ = 2 m > 1.414 m なので、この点は到達可能です。

到達可能性の形

ワークスペース：ロボットが到達できる幾何学的な体積

ワークスペース包絡線は、エンドエフェクタが到達できるすべての点の集合です。その形状はロボットの幾何学に完全に依存します。

アーティキュレートアーム（6軸）：ワークスペースはほぼ中空の球です。外部境界は最大リーチ（すべてのリンク拡張）です。内部境界は存在します。なぜなら、アームはベースに十分に近い点に到達するのに自分自身に折り返すことができないからです。断面図はドーナツ（トーラス）のように見えます。

SCARA：ワークスペースはシリンダーです。アームは水平方向にスイープし（円形の断面を生成）、Z軸は垂直方向に移動します。結果はフラットシリンダー状の体積です：水平リーチが広く、垂直方向は限定的です。

カルテシアン/ガントリー：ワークスペースは長方形のボックスです。各軸は1つの寸法に沿って直線的に移動します。シンプル、予測可能、プログラムしやすい：しかしロボットはワークスペースと同じ大きさである必要があるため、かさばります。

ワークスペース内の特異点：特定のポーズでは、ロボットはDOFを失います。完全に伸びたアーティキュレートアーム（ワークスペースの外部境界で）は特異点にあります：エンドエフェクタをさらに外側に移動することはできません。手首特異点は、2つの手首ジョイント軸が整列するときに発生します。特異点では、ヤコビアン行列がランクを失い、ロボットの効果的なDOFは一時的に減少します。

器用なワークスペース対到達可能なワークスペース：到達可能なワークスペースはエンドエフェクタが少なくとも1つの方向で到達できる場所です。器用なワークスペースはそれが任意の方向を達成できる場所です。器用なワークスペースは常に到達可能なワークスペースのサブセットです：そしてしばしばはるかに小さいです。

ワークスペースによるロボット選択

工場セルには、L字形に配置された3つのステーション（A、B、C）があります。ステーションAは左側にあり、ステーションBは真っ直ぐ前方にあり、ステーションCは右側にありわずかに上昇しています（300 mm高い）。ロボットは1つのマウント位置からAから部品を取り、Bで操作を実行し、完成した部品をCに配置する必要があります。

配置空間：ロボットの抽象幾何学

配置空間：運動計画が存在する場所

配置空間（C-space）はロボティクスで最も強力な幾何学的抽象化の1つです。ロボットの物理的形状について考えるのではなく、その全体的な状態をN次元空間内の単一の点として表現します。

Nつのジョイントを持つロボットの場合、C-spaceはN次元です：ジョイント角ごとに1つの軸。ロボットの可能なポーズはすべてC-spaceの単一の点です。モーション（ポーズのシーケンス）はC-spaceを通る曲線です。

C-space の障害物：実世界の物理的な障害物は、C-spaceの禁止領域になります。ロボットをジョイント角度（θ₁、θ₂、...、θN）に配置すると衝突が発生する場合、その点はC-space障害物の内部にあります。C-space障害物の形状は複雑です：実世界の単純なボックスはC-spaceで奇妙に形成された領域になります。

経路計画 = 衝突のない曲線を見つける：開始配置（C-space内の点）と目標配置（別の点）が与えられている場合、禁止領域に入らない連続曲線を見つけます。

アルゴリズム：

- A*（グリッドベース）：C-spaceをグリッドに離散化し、最短パスを検索します。低い次元（2-3 DOF）でよく機能しますが、グリッドサイズは次元に応じて指数関数的に爆発します。

- RRT（迅速に探索するランダムツリー）：C-space内のランダムサンプルのツリーを構築し、未探索の領域に向かって成長させます。高い次元（6以上のDOF）で機能します。最適ではありませんが、実行可能なパスを見つけるのは高速です。

- PRM（確率ロードマップ）：ランダムな衝突のない配置のグラフを事前計算し、グラフを検索します。同じ環境内での繰り返しクエリに適しています。

幾何学的な洞察：6-DOFロボットの経路計画問題は6D空間を通る曲線問題です。次元性により、正確なソリューションは実行不可能です：確率的方法（RRT、PRM）は実用的なアプローチです。

配置空間の思考

2リンク平面アーム（2 DOF）は単一の長方形の障害物のある部屋で動作します。ジョイント1は0°から360°の範囲、ジョイント2は0°から360°の範囲です。配置空間は2D正方形です：θ₁が1つの軸、θ₂がもう1つの軸。