De combien de façons peut-il se déplacer ?
Degrés de Liberté : La Géométrie du Mouvement
Un degré de liberté (DDL) est une façon indépendante dont un objet peut se déplacer. Comprendre les DDL est la première étape pour comprendre comment les robots interagissent avec l'espace.
La position dans l'espace 3D nécessite 3 DDL : x (gauche/droite), y (avant/arrière), z (haut/bas). Un point dans l'espace a 3 DDL.
L'orientation ajoute 3 autres : roulis (rotation autour de l'axe avant), tangage (rotation autour de l'axe latéral), lacet (rotation autour de l'axe vertical). Un corps rigide dans l'espace a 6 DDL : 3 position + 3 orientation.
Bras robotiques & DDL :
- Un bras articulé à 6 axes (comme un robot industriel) a 6 articulations, chacune ajoutant 1 DDL. Avec 6 DDL, l'effecteur terminal peut atteindre n'importe quelle position et orientation dans l'espace de travail : il a une liberté spatiale complète.
- Un robot SCARA à 4 axes a 4 DDL : il peut se positionner n'importe où dans un plan et tourner, mais ne peut pas incliner son outil. Bon pour la prise-et-place sur des surfaces planes.
- Un robot cartésien/portique à 3 axes a 3 DDL : il peut se positionner n'importe où dans un volume en forme de boîte mais ne peut pas du tout orienter son outil. Bon pour les imprimantes 3D.
Plus de 6 DDL : Un robot à 7 axes est redondant : il a plus de DDL que nécessaire pour un positionnement spatial complet. Les DDL supplémentaires lui permettent de contourner les obstacles, comme un bras humain se tendant derrière quelque chose. La redondance est un avantage géométrique.
DDL et Exigences de Tâche
Une usine a besoin d'un robot pour trois tâches différentes : (A) distribuer de la colle le long d'un chemin courbe en 3D sur un panneau de carrosserie automobile, (B) prélever des puces d'un tapis roulant & les placer sur une carte de circuit plat, & (C) souder une articulation 3D complexe sous plusieurs angles.
Deux Directions de la Géométrie Robotique
Cinématique : La Géométrie en Mouvement
La cinématique est l'étude du mouvement sans considérer les forces. En robotique, c'est la géométrie pure : la relation entre les angles des articulations et la position de l'effecteur terminal.
Cinématique directe (FK) : Étant donné tous les angles des articulations → calculer la position & l'orientation de l'effecteur terminal. C'est la direction 'facile'.
Pour un bras planaire à 2 maillons : si l'articulation 1 est à l'angle θ₁ & l'articulation 2 est à l'angle θ₂, avec les longueurs de maillon L₁ & L₂, l'effecteur terminal est à :
- x = L₁ cos(θ₁) + L₂ cos(θ₁ + θ₂)
- y = L₁ sin(θ₁) + L₂ sin(θ₁ + θ₂)
Pour un bras à 6 axes, la FK utilise une chaîne de matrices de transformation homogènes : chaque articulation contribue une matrice 4×4 codant la rotation et la translation. Multipliez toutes les six matrices ensemble pour obtenir la pose de l'effecteur terminal. C'est mécanique mais produit toujours une réponse unique.
Cinématique inverse (IK) : Étant donné une position & une orientation d'effecteur terminal souhaitées → calculer les angles d'articulation qui les réalisent. C'est la direction 'difficile'.
L'IK est difficile parce que :
- Solutions multiples : Un bras à 6 axes peut souvent atteindre le même point dans plusieurs configurations (coude vers le haut vs coude vers le bas, poignet retourné vs non retourné). Il peut y avoir 8 solutions valides ou plus.
- Pas de solutions : Si la cible est en dehors de l'espace de travail, aucun angle d'articulation ne fonctionne.
- Singularités : À certaines poses, deux axes d'articulation s'alignent et le robot perd un DDL : comme le verrouillage de cardan. Près des singularités, les petits mouvements cartésiens nécessitent d'énormes vitesses d'articulation.
Cinématique Inverse : Pourquoi est-ce Difficile ?
Considérez un simple bras planaire à 2 maillons avec L₁ = L₂ = 1 mètre. L'effecteur terminal doit atteindre le point (1.0, 1.0).
La distance de la base à la cible est sqrt(1² + 1²) = sqrt(2) ≈ 1.414 m. Puisque L₁ + L₂ = 2 m > 1.414 m, le point est accessible.
Forme de L'Accessibilité
Espace de Travail : Le Volume Géométrique Qu'un Robot Peut Atteindre
L'enveloppe d'espace de travail est l'ensemble de tous les points que l'effecteur terminal peut atteindre. Sa forme dépend entièrement de la géométrie du robot.
Bras articulé (6 axes) : L'espace de travail est à peu près une sphère creuse. La limite extérieure est à la portée maximale (tous les maillons étendus). La limite intérieure existe parce que le bras ne peut pas assez se replier sur lui-même pour atteindre les points trop proches de la base. La coupe transversale ressemble à un beignet (tore).
SCARA : L'espace de travail est un cylindre. Le bras balaie horizontalement (générant une coupe transversale circulaire) et l'axe Z se déplace verticalement. Le résultat est un volume cylindrique plat : portée horizontale large, limitée verticalement.
Cartésien/Portique : L'espace de travail est une boîte rectangulaire. Chaque axe se déplace linéairement selon une dimension. Simple, prévisible, facile à programmer : mais encombrant parce que le robot doit être aussi grand que son espace de travail.
Singularités dans l'espace de travail : À certaines poses, le robot perd un DDL. Un bras articulé complètement étendu (à la limite extérieure de son espace de travail) est dans une singularité : il ne peut pas déplacer l'effecteur terminal plus loin vers l'extérieur. Les singularités du poignet se produisent quand deux axes d'articulation du poignet s'alignent. À une singularité, la matrice jacobienne perd son rang, et les DDL effectifs du robot diminuent temporairement.
Espace de travail dextre vs espace de travail accessible : L'espace de travail accessible est où l'effecteur terminal peut atteindre dans au moins une orientation. L'espace de travail dextre est où il peut réaliser n'importe quelle orientation arbitraire. L'espace de travail dextre est toujours un sous-ensemble de l'espace de travail accessible : et souvent beaucoup plus petit.
Choisir un Robot par l'Espace de Travail
Une cellule d'usine a trois stations disposées en forme de L. La station A est à gauche, la station B est directement devant, la station C est à droite et légèrement surélevée (300 mm plus haut). Le robot doit prélever des pièces à A, effectuer une opération à B, et placer les pièces finies à C : tout d'une seule position de montage.
Espace de Configuration : La Géométrie Abstraite du Robot
Espace de Configuration : Où Vit la Planification de Mouvement
L'espace de configuration (C-space) est l'une des abstractions géométriques les plus puissantes de la robotique. Au lieu de penser à la forme physique du robot, représentez son état entier comme un seul point dans un espace N-dimensionnel.
Pour un robot avec N articulations, C-space a N dimensions : un axe par angle d'articulation. Chaque pose possible du robot est un seul point dans C-space. Un mouvement (séquence de poses) est une courbe à travers C-space.
Obstacles dans C-space : Un obstacle physique dans le monde réel devient une région interdite dans C-space. Si placer le robot aux angles d'articulation (θ₁, θ₂, ..., θN) provoquerait une collision, ce point est à l'intérieur d'un obstacle C-space. La forme des obstacles C-space est complexe : une simple boîte dans le monde réel devient une région étrangement formée dans C-space.
Planification de trajectoires = trouver une courbe sans collision : Étant donné une configuration de départ (point dans C-space) & une configuration d'objectif (un autre point), trouvez une courbe continue les reliant qui n'entre pas dans aucune région interdite.
Algorithmes :
- A* (basé sur grille) : Discrétisez C-space dans une grille, recherchez le chemin le plus court. Fonctionne bien dans les basses dimensions (2-3 DDL) mais la taille de grille explose exponentiellement avec la dimension.
- RRT (Rapidly-Exploring Random Tree) : Construisez un arbre d'échantillons aléatoires dans C-space, se développant vers des régions inexplorées. Fonctionne dans les dimensions élevées (6+ DDL). Pas optimal mais rapide pour trouver des trajectoires réalisables.
- PRM (Probabilistic Roadmap) : Pré-calculez un graphe de configurations aléatoires sans collision, puis recherchez le graphe. Bon pour les requêtes répétées dans le même environnement.
L'intuition géométrique : un problème de planification de trajectoires d'un robot à 6 DDL est un problème de courbe-à-travers-l'espace-6D. La dimensionnalité rend les solutions exactes infaisables : les méthodes probabilistes (RRT, PRM) sont l'approche pratique.
Penser l'Espace de Configuration
Un bras planaire à 2 maillons (2 DDL) opère dans une pièce avec un seul obstacle rectangulaire. L'articulation 1 va de 0° à 360°, l'articulation 2 va de 0° à 360°. L'espace de configuration est un carré 2D : θ₁ sur un axe, θ₂ sur l'autre.