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太空飞行就是几何。每条轨道都是一条圆锥曲线：一种通过用平面切割圆锥而得到的形状。每颗卫星、每颗行星、每颗彗星的轨迹都是四条曲线之一：圆、椭圆、抛物线或双曲线。具体是哪一条取决于物体移动的速度。
本课程涵盖了任务规划人员用来设计轨迹、改变轨道、调整轨道平面和在引力平衡点停靠航天器的几何学。这些不是近似或简化：开普勒定律和牛顿引力提供了精确的几何解决方案，这些方案指导了历史上的每一次太空任务。
我们从轨道力学中最重要的形状开始：椭圆。
椭圆轨道的剖析
开普勒第一定律
约翰尼斯·开普勒在1609年发现行星以椭圆形环绕太阳运行，太阳位于一个焦点处。这是革命性的：几个世纪以来，天文学家一直假设轨道是圆形的（或圆形的组合）。开普勒证明了这个几何形状更简单，但对称性更低。
椭圆的几何形状：
- 半长轴 (a)： 最长直径的一半。这决定了轨道周期和总能量。
- 半短轴 (b)： 最短直径的一半。
- 焦点 (F₁, F₂)： 椭圆内部的两个特殊点。中心天体（地球、太阳）位于一个焦点处。另一个焦点是空的。
- 离心率 (e)： 测量椭圆的拉长程度。e = c/a，其中c是从中心到焦点的距离。
- e = 0：完美的圆
- 0 < e < 1：椭圆
- e = 1：抛物线（逃逸轨迹）
- e > 1：双曲线（飞掠轨迹）
- 近地点： 轨道上距离中心天体最近的点（对于地球轨道：近地点）
- 远地点： 距离中心天体最远的点（对于地球轨道：远地点）
开普勒第二定律增加了一个关键的约束：从中心天体到绕行天体的直线在相等的时间内扫过相等的面积。这意味着物体在近地点移动最快，在远地点移动最慢。椭圆的几何形状规定了轨道上每个点的速度。
离心率与速度
将形状与速度联系起来
国际空间站以几乎圆形的轨道绕地球运行：离心率约为0.0005。哈雷彗星以离心率0.967环绕太阳：一个极其拉长的椭圆。在近日点（最接近太阳），哈雷彗星以54.5 km/s的速度运行。在远日点（离太阳最远），它以0.9 km/s的速度爬行。同一个轨道，同一个物体，但几何形状强制了60:1的速度比。
霍曼转移椭圆
几何轨道变化
圆形轨道上的航天器不能简单地指向更高的轨道并点燃其引擎。轨道力学的工作方式不是这样的。相反，航天器必须遵循一条特定的几何路径：转移轨道，它连接两个圆形轨道。
霍曼转移（由沃尔特·霍曼在1925年提出）是共面圆形轨道之间最燃料高效的双燃烧转移。其几何形状是优雅的：转移轨道是一个椭圆，其近地点接触内轨道，其远地点接触外轨道。
两次燃烧：
1. 燃烧1（在近地点）： 向前点燃引擎以从内圆形轨道加速到转移椭圆。航天器现在沿着椭圆路径向外移动。
2. 燃烧2（在远地点）： 当航天器到达外轨道高度时，再次向前点燃引擎以从转移椭圆加速到外圆形轨道。
为什么这在几何上有效？ 转移椭圆与两个圆形轨道相切：它恰好在每个点接触一个。这意味着航天器在燃烧点处的速度与圆形轨道对齐，因此所有引擎推力都用于改变速度（而不是方向）。最大效率。
代价是： 到达更高轨道的霍曼转移需要时间。从近地轨道（LEO）到地球同步轨道（GEO）的转移需要约5.3小时。到月球的转移需要约3天。
转移轨道几何
超越霍曼
霍曼转移对于适度的轨道变化是最优的。但对于非常大的轨道变化：比如从近地轨道到一个高度高15倍的轨道：双椭圆转移实际上可能更燃料高效，尽管它使用三次燃烧并花费更长的时间。几何涉及两个转移椭圆：一个超过目标轨道，一个回到它。
这是反直觉的：走得比需要的远得多，然后回来，使用的燃料比直接走少。原因深深植根于轨道能量的几何：Oberth效应意味着在高速度（靠近大质量体）处的燃烧比在低速度（远离大质量体）处的燃烧更有效。
第三个维度
离开平面
到目前为止，我们一直在二维工作：轨道作为平面上的椭圆。但实际轨道存在于三维空间，轨道平面的方向非常重要。
轨道倾角是轨道平面与赤道平面之间的角度。它的范围从0°（赤道轨道，与赤道平面相同）到90°（极地轨道，经过两极）到180°（逆向赤道轨道，与地球自转相反的轨道运行）。
国际空间站的倾角为51.6°。这意味着其轨道平面与赤道成51.6°角。当地球在其下方旋转时，国际空间站经过北纬51.6°至南纬51.6°之间的地球上的每个点。
改变倾角非常昂贵。 平面内机动（如霍曼转移）改变轨道的大小和形状。平面变化在3D空间中旋转整个轨道。倾角变化所需的速度变化为：
ΔV = 2V × sin(Δi/2)
其中V是轨道速度，Δi是倾角变化（以度为单位）。即使是很小的倾角变化也需要很大的ΔV，因为你必须重定向整个轨道速度向量，而不仅仅是增加或减少其大小。
在国际空间站轨道速度（7.7公里/秒）下，1°倾角变化的成本约为135米/秒的ΔV。28.5°变化（从卡纳维拉尔角的纬度到赤道）的成本约为3.8公里/秒：几乎是到达轨道所需ΔV的一半。
发射场优势
为什么发射场在它们所在的地方
当火箭向东发射时，它会从地球自转中获得自由速度提升。在赤道，地球表面以约465米/秒向东移动。在卡纳维拉尔角（北纬28.5°），约为408米/秒。在拜科努尔（北纬45.6°），约为325米/秒。
但有一个几何约束：从卡纳维拉尔角向东发射的火箭进入的轨道倾角等于发射场的纬度：28.5°。要从卡纳维拉尔角到达赤道轨道（倾角0°），你必须执行28.5°平面变化：这是极其昂贵的。
这解释了为什么欧洲航天局从法属圭亚那库鲁发射（北纬5.2°）以及中国为什么在文昌建造（北纬19.6°）。发射场纬度上节省的每一度都是你在轨道上不必支付的倾角变化。
五个特殊点
引力几何
在任何两体引力系统（如太阳和地球）中，恰好有五个点，其中两个天体的引力，结合轨道的向心力，产生了净零力。一个放置在这些点之一处的小物体可以相对于两个天体保持静止。这些是拉格朗日点，由约瑟夫-路易斯·拉格朗日在1772年在数学上发现。
五个点：
L1：太阳和地球之间，约距地球150万公里。太阳的引力将你拉向太阳，地球的引力将你拉向地球，轨道运行的向心力将你推向外侧。在L1处，这些力保持平衡。SOHO和DSCOVR从这里观察太阳。
L2：距太阳的地球之外，约距地球150万公里处。这里太阳和地球的合力（都向太阳拉）与向心力平衡。詹姆斯·韦伯太空望远镜在这里运行：它将太阳、地球和月球都保持在其太阳盾后面。
L3：在太阳的地球对面。理论上有趣，但实际上没用：太远以至于无法通信，被太阳挡住。
L4和L5：在由太阳、地球和拉格朗日点形成的等边三角形的顶点处。L4在其轨道中领先地球60°，L5在其轨道中落后地球60°。这些是唯一稳定的拉格朗日点：放在这里的物体被移动时自然会返回。
稳定性： L1、L2和L3是不稳定的：像在山顶上平衡球一样。轻微的推动，物体就会漂离。航天器在L1和L2处必须执行定期的驻留保持燃烧。L4和L5是稳定的：像碗里的球一样。被移动的物体在该点周围振荡。木星的L4和L5点在数十亿年内已经积累了数千个特洛伊小行星。
平衡的几何学
为什么是等边三角形？
L4和L5位于等边三角形顶点这一事实并非任意的：这是引力几何的深层结果。证明涉及表明在较小物体前面或后面60°处，引力梯度创建了一个捕获物体的科里奥利力井。
实际应用是显著的。美国国家航空航天局的露西任务正在访问木星位于L4和L5的特洛伊小行星。LISA路径探路者任务在太阳-地球L1处测试了引力波探测技术。自赫歇尔（2009）以来的每个主要太空望远镜都被放在L2处。