Ellipse de transfert de Hohmann

Changer d'orbite géométriquement

Un engin spatial en orbite circulaire ne peut pas simplement pointer vers une orbite plus élevée et allumer ses moteurs. La mécanique orbitale ne fonctionne pas comme ça. Au lieu de cela, l'engin spatial doit suivre un chemin géométrique spécifique : une orbite de transfert : qui relie les deux orbites circulaires.

Le transfert de Hohmann (proposé par Walter Hohmann en 1925) est le transfert à deux combustions le plus efficace en carburant entre orbites circulaires coplanaires. Sa géométrie est élégante : l'orbite de transfert est une ellipse dont le périapside touche l'orbite interne & dont l'apoapside touche l'orbite externe.

Les deux combustions :

1. Combustion 1 (au périapside) : Allumez les moteurs prograde (vers l'avant) pour accélérer de l'orbite circulaire interne sur l'ellipse de transfert. L'engin spatial suit maintenant le chemin elliptique vers l'extérieur.

2. Combustion 2 (à l'apoapside) : Lorsque l'engin spatial atteint l'altitude de l'orbite externe, allumez les moteurs prograde à nouveau pour accélérer de l'ellipse de transfert sur l'orbite circulaire externe.

Pourquoi cela fonctionne-t-il géométriquement ? L'ellipse de transfert est tangente aux deux orbites circulaires : elle touche chacune en exactement un point. Cela signifie que la vitesse de l'engin spatial aux points de combustion est alignée avec l'orbite circulaire, donc toute la poussée du moteur va augmenter la vitesse (pas la direction). Efficacité maximale.

Le coût : Un transfert de Hohmann vers une orbite beaucoup plus élevée prend du temps. Un transfert de l'orbite terrestre basse (OTB) à l'orbite géostationnaire (OGS) prend environ 5,3 heures. Un transfert vers la Lune prend environ 3 jours.

Géométrie de l'orbite de transfert

Au-delà de Hohmann

Le transfert de Hohmann est optimal pour les changements d'orbite modestes. Mais pour les changements d'orbite très importants : disons, de l'OTB à une orbite 15 fois plus élevée : un transfert bi-elliptique peut en fait être plus efficace en carburant, même s'il utilise trois combustions et prend beaucoup plus de temps. La géométrie implique deux ellipses de transfert : une qui dépasse l'orbite cible, et une qui y revient.

C'est contre-intuitif : aller plus loin que nécessaire, puis revenir, utilise moins de carburant qu'aller directement. La raison est profonde dans la géométrie de l'énergie orbitale : l'effet Oberth signifie que les combustions à haute vélocité (proche d'un corps massif) sont plus efficaces que les combustions à faible vélocité (loin d'un corps massif).

Troisième dimension

Quitter le plan

Jusqu'à présent, nous avons travaillé en deux dimensions : les orbites comme des ellipses dans un plan plat. Mais les orbites réelles existent dans l'espace tridimensionnel, et l'orientation du plan orbital a une grande importance.

L'inclinaison orbitale est l'angle entre le plan orbital & le plan équatorial. Elle varie de 0° (orbite équatoriale, même plan que l'équateur) à 90° (orbite polaire, passant par les deux pôles) à 180° (orbite équatoriale rétrograde, orbite opposée à la rotation terrestre).

La Station spatiale internationale a une inclinaison de 51,6°. Cela signifie que son plan orbital est incliné de 51,6° par rapport à l'équateur. Alors que la Terre tourne dessous, la Station spatiale internationale passe sur chaque point de la Terre entre les latitudes 51,6°N & 51,6°S.

Changer d'inclinaison est énormément cher. Les manœuvres dans le plan (comme les transferts de Hohmann) modifient la taille & la forme de l'orbite. Les changements de plan font tourner toute l'orbite en 3D. Le changement de vitesse requis pour un changement de plan est :

ΔV = 2V × sin(Δi/2)

où V est la vitesse orbitale & Δi est le changement d'inclinaison en degrés. Même un petit changement d'inclinaison nécessite un ΔV important car vous devez rediriger tout le vecteur de vitesse orbitale, et non seulement augmenter ou diminuer sa grandeur.

À la vitesse orbitale de l'ISS (7,7 km/s), un changement d'inclinaison d'1° coûte environ 135 m/s de ΔV. Un changement de 28,5° (de la latitude du cap Canaveral à l'équateur) coûte environ 3,8 km/s : près de la moitié du ΔV nécessaire pour atteindre l'orbite en premier lieu.

Avantage du site de lancement

Pourquoi les sites de lancement sont où ils sont

Lorsqu'une fusée lance vers l'est, elle obtient une aide gratuite à la vitesse de la rotation terrestre. À l'équateur, la surface terrestre se déplace d'environ 465 m/s vers l'est. Au Cap Canaveral (28,5°N), c'est environ 408 m/s. À Baïkonour (45,6°N), environ 325 m/s.

Mais il y a une contrainte géométrique : une fusée lancée vers l'est depuis le Cap Canaveral entre en orbite avec une inclinaison égale à la latitude du site de lancement : 28,5°. Pour atteindre une orbite équatoriale (inclinaison 0°) depuis le Cap Canaveral, vous devez effectuer un changement de plan de 28,5° : ce qui est extrêmement cher.

Cela explique pourquoi l'Agence spatiale européenne lance depuis Kourou, Guyane française (latitude 5,2°N) & pourquoi la Chine a construit Wenchang à 19,6°N. Chaque degré de latitude que vous économisez au site de lancement est un degré de changement d'inclinaison que vous n'avez pas à payer en orbite.

Cinq points spéciaux

Géométrie gravitationnelle

Dans tout système gravitationnel à deux corps (comme le Soleil & la Terre), il y a exactement cinq points où la traction gravitationnelle des deux corps, combinée à la force centrifuge de l'orbite, crée une force nette zéro. Un petit objet placé à l'un de ces points peut rester immobile par rapport aux deux corps. Ce sont les points de Lagrange, découverts mathématiquement par Joseph-Louis Lagrange en 1772.

Les cinq points :

L1 : Entre le Soleil et la Terre, environ 1,5 million de km de la Terre. La gravité du Soleil vous tire vers le Soleil, la gravité de la Terre vous tire vers la Terre, et la force centrifuge de l'orbite vous pousse vers l'extérieur. À L1, ces forces s'équilibrent. SOHO et DSCOVR observent le Soleil d'ici.

L2 : Au-delà de la Terre depuis le Soleil, environ 1,5 million de km plus loin. Ici, la gravité combinée du Soleil et de la Terre (tous deux tirant vers le Soleil) s'équilibre la force centrifuge. JWST orbite ici : il garde le Soleil, la Terre et la Lune tous derrière son écran thermique.

L3 : De l'autre côté du Soleil par rapport à la Terre. Théoriquement intéressant mais pratiquement inutile : trop loin pour les communications et bloqué par le Soleil.

L4 et L5 : Aux sommets des triangles équilatéraux formés par le Soleil, la Terre et le point de Lagrange. L4 est 60° avant la Terre sur son orbite, L5 est 60° derrière. Ce sont les seuls points de Lagrange stables : les objets placés ici reviennent naturellement lorsqu'ils sont déplacés.

Stabilité : L1, L2 et L3 sont instables : comme équilibrer une balle au sommet d'une colline. Une petite poussée et l'objet s'éloigne. Les engins spatiaux à L1 et L2 doivent effectuer des combustions de maintien de station régulières. L4 et L5 sont stables : comme une balle dans un bol. Les objets déplacés oscillent autour du point. Les points L4 et L5 de Jupiter ont collecté des milliers d'astéroïdes troyens au cours de milliards d'années.

Géométrie de l'équilibre

Pourquoi des triangles équilatéraux ?

Le fait que L4 et L5 se trouvent aux sommets des triangles équilatéraux n'est pas arbitraire : c'est un résultat profond de la géométrie gravitationnelle. La preuve implique de montrer qu'à 60° avant ou après le corps plus petit, le gradient gravitationnel crée un puits de force de Coriolis qui piège les objets.

Les applications pratiques sont importantes. La mission Lucy de la NASA visite des astéroïdes troyens de Jupiter aux points L4 & L5. La mission LISA Pathfinder a testé la technologie de détection des ondes gravitationnelles à L1 du système Soleil-Terre. Chaque grand télescope spatial depuis Herschel (2009) a été placé à L2.