ようこそ
宇宙飛行は幾何学である。あらゆる軌道は円錐曲線：コーンを平面で切ったときに得られる形である。すべての衛星、すべての惑星、すべての彗星の軌跡は4つの曲線のいずれかである：円、楕円、放物線、または双曲線。どの曲線になるかは、物体がどのくらい速く移動しているかによって決まる。
このレッスンは、ミッション・プランナーが軌道設計に使用する幾何学を扱う：軌道を変更する、軌道面を調整する、宇宙船を重力平衡点に配置する。これらは近似値や単純化ではない。ケプラーの法則とニュートン重力は、歴史上すべての宇宙ミッションを導いてきた正確な幾何学的解を与える。
我々は軌道力学で最も重要な形から始める：楕円である。
楕円軌道の解剖学
ケプラーの第1法則
ヨハネス・ケプラーは1609年に、惑星は太陽を1つの焦点とする楕円軌道で太陽を周回することを発見した。これは革命的だった：何世紀もの間、天文学者は軌道が円である（または円の組み合わせ）と仮定していた。ケプラーは幾何学がより単純だが、より対称性に欠けていることを示した。
楕円の幾何学：
- 半長軸 (a)： 最長直径の半分。これは軌道周期と総エネルギーを決定する。
- 半短軸 (b)： 最短直径の半分。
- 焦点 (F₁, F₂)： 楕円内の2つの特別な点。中心天体（地球、太陽）は1つの焦点に位置する。もう1つの焦点は空である。
- 離心率 (e)： 楕円がどのくらい伸長しているかを測定する。e = c/a、ここで c は中心から焦点までの距離。
- e = 0：完全な円
- 0 < e < 1：楕円
- e = 1：放物線（脱出軌道）
- e > 1：双曲線（フライバイ軌道）
- 近点： 軌道上で中心天体に最も近いポイント（地球軌道の場合：近地点）
- 遠点： 中心天体から最も遠いポイント（地球軌道の場合：遠地点）
ケプラーの第2法則は重要な制約を加える：中心天体から周回物体への直線は、等しい時間に等しい面積を掃く。これは、物体が近点で最速、遠点で最遅であることを意味する。楕円の幾何学は、軌道上のすべての点での速度を指定する。
離心率と速度
形状から速度へ
国際宇宙ステーション(ISS)はほぼ円形の軌道で地球を周回する：離心率は約0.0005。ハレー彗星は太陽を離心率0.967で周回する：きわめて伸長した楕円。近日点（太陽に最も近い点）ではハレー彗星は秒速54.5 km で移動する。遠日点（最も遠い点）では秒速0.9 km で移動する。同じ軌道、同じ物体だが、幾何学は60:1の速度比を強制する。
ホーマン遷移楕円
幾何学的に軌道を変更する
円形軌道の宇宙船はエンジンを高い軌道に向けて単に発火させることはできない。軌道力学はそのように機能しない。代わりに、宇宙船は特定の幾何学的経路に従わなければならない：遷移軌道が2つの円形軌道を接続する。
ホーマン遷移（1925年にWalter Hohnannによって提案）は、同一平面上の円形軌道間で最も燃料効率的な2バーン遷移である。その幾何学はエレガントである：遷移軌道は楕円であり、その近点は内側軌道に接し、その遠点は外側軌道に接する。
2つのバーン：
1. バーン1（近点）： エンジンを順行（前方）に発火して、内側円形軌道から遷移楕円に加速する。宇宙船は楕円経路を外側に移動する。
2. バーン2（遠点）： 宇宙船が外側軌道高度に到達したとき、エンジンを再び順行に発火して、遷移楕円から外側円形軌道に加速する。
これが幾何学的に機能する理由： 遷移楕円は両方の円形軌道に接する：各軌道をちょうど1つのポイントで接する。これは宇宙船のバーンポイント時の速度が円形軌道の速度と整列していることを意味するため、すべてのエンジン推力は速度変更に（方向変更ではなく）使用される。最大効率。
コスト： 高い軌道へのホーマン遷移は時間がかかる。低地球軌道（LEO）から静止軌道（GEO）への遷移は約5.3時間かかる。月への遷移は約3日かかる。
遷移軌道幾何学
ホーマンを超えて
ホーマン遷移は適度な軌道変更に最適である。しかし、非常に大きな軌道変更の場合：たとえば、LEOから15倍高い軌道への遷移：二重楕円遷移は、3バーンを使用し、より長く時間がかかるにもかかわらず、実は燃料効率がより高い可能性がある。幾何学は2つの遷移楕円を含む：1つは目標軌道をオーバーシュートし、1つはそれに戻る。
これは直感に反する：必要とする以上に遠くに行って、戻ってくることは、直接行くより少ない燃料を使う。理由は軌道エネルギーの幾何学の深くにある：オベルト効果は、高速での燃焼（大規模な天体の近く）が低速での燃焼（大規模な天体から遠い）より効率的であることを意味する。
3次元
平面から離れる
これまで、2次元で機能している：軌道を平面の楕円として。しかし、実際の軌道は3次元空間に存在し、軌道平面の方向は非常に重要である。
軌道傾斜角は軌道平面と赤道平面の間の角度である。これは0°（赤道軌道、赤道と同じ平面）から90°（極軌道、両極を通過）から180°（逆行赤道軌道、地球の回転と反対に周回）の範囲である。
ISSは51.6°の傾斜角を持つ。これはISS軌道平面が赤道から51.6°傾いていることを意味する。その下の地球が回転するとき、ISSは51.6°Nから51.6°Sの間のすべてのポイントを通過する。
傾斜角を変更することは非常に高価である。 平面内での操作（ホーマン遷移のような）は軌道のサイズと形を変更する。平面変更は軌道全体を3D空間で回転させる。平面変更に必要な速度変更は：
ΔV = 2V × sin(Δi/2)
ここで、Vは軌道速度、Δiは傾斜角の変更（度数）。小さな傾斜角変更でさえ、大きなΔVが必要である。なぜなら、軌道速度ベクトル全体を方向転換する必要があるからである。速度を増加または減少させるだけではない。
ISS軌道速度（秒速7.7 km）では、1°の傾斜角変更は約135 m/sのΔVがかかる。28.5°の変更（ケープカナベラルの緯度から赤道まで）は約3.8 km/s：実は軌道に到達するために必要なΔVのほぼ半分。
打ち上げサイトの利点
なぜ打ち上げサイトはそこにあるのか
ロケットが東に打ち上げられるとき、地球の回転から自由な速度ブーストを得る。赤道では、地球の表面は東向きに約465 m/sで動く。ケープカナベラル（28.5°N）では、約408 m/sである。バイコヌール（45.6°N）では、約325 m/sである。
しかし、幾何学的な制約がある：ケープカナベラルから東に打ち上げられたロケットは、打ち上げサイトの緯度に等しい傾斜角を持つ軌道に入る：28.5°。赤道軌道（傾斜角0°）に到達するためにケープカナベラルから、28.5°平面変更を実行する必要がある：これは非常に高価である。
これが、欧州宇宙機関がフランス領ギアナのクルーから打ち上げる理由と、中国が19.6°Nの文昌を建設した理由を説明する。打ち上げサイトで節約できる緯度の程度ごとに、軌道で支払う必要がない傾斜角変更の程度である。
5つの特別なポイント
重力幾何学
任意の2体重力系（太陽と地球のような）では、両体の重力引力を組み合わせて、軌道から遠心力を作成し、正味ゼロ力を作成する正確に5つのポイントがある。これらのポイントの1つに置かれた小さな物体は、両体に対して静止したままでいることができる。これらはラグランジュポイントである。1772年にJoseph-Louis Lagrangeによって数学的に発見された。
5つのポイント：
L1：太陽と地球の間、地球から約150万km。太陽の重力はあなたを太陽向きに引き、地球の重力はあなたを地球向きに引き、軌道の遠心力はあなたを外向きに押す。L1では、これらはバランスが取れている。SOHOとDSCOVRはここから太陽を観測する。
L2：太陽から遠い地球の向こう側、地球から約150万km先。ここで太陽と地球の結合重力（両方とも太陽向きに引く）は遠心力のバランスを取る。JWSTはここで周回する：太陽、地球、月をすべてサンシールドの後ろに保つ。
L3：太陽の反対側の地球の反対側。理論的に興味深いが、実用的には無用である：通信には遠すぎて、太陽によってブロックされている。
L4およびL5：太陽、地球、およびラグランジュポイントによって形成される正三角形の頂点。L4は地球の軌道内の60°前、L5は60°後ろ。これらは唯一の安定したラグランジュポイントである：ここに置かれたオブジェクトは変位時に自然に戻る。
安定性： L1、L2、L3は不安定である：丘の上にボールをバランスしているような。小さなプッシュとオブジェクトはドリフトして離れる。L1およびL2の宇宙船は定期的なステーション保持バーンを実行する必要がある。L4およびL5は安定している：ボウルの中のボールのような。変位されたオブジェクトはポイント周辺を振動する。木星のL4およびL5ポイントは何十億年にもわたってトロイア小惑星を何千個も集めている。
平衡の幾何学
正三角形はなぜか
L4およびL5が正三角形の頂点に位置するという事実は恣意的ではない：重力幾何学の深い結果である。証拠では、より小さい体の前または後ろの60°で、重力勾配がコリオリ力ウェルを作成することを示す。
実用的な応用は重要である。NASAのLucyミッションはL4およびL5の木星トロイア小惑星を訪問している。LISAパスファインダーミッションは太陽・地球L1で重力波検出技術をテストした。Herschel（2009）以降のすべての主要な宇宙望遠鏡はL2に配置されている。