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宇宙飛行は幾何学です。すべての軌道は、錐に平面で切ったことで得られる図形です。衛星、惑星、彗星の軌道は、どれも四つの曲線です：円、楕円、抛物、双曲線です。これは、どれがどれであるか、速度に依存します。
このレッスンでは、ミッションプランナーが軌道を設計するための幾何学、軌道を変更する、軌道平面を整列させる、宇宙船を重力均衡点に駐車するためのトラジェクトリを設計するためのトラジェクトリをカバーしています。これらは、ケプラーの法則とニュートンの重力が歴史上のすべての宇宙ミッションを指揮するための正確な幾何学解決策を提供するものではありません。
楕円軌道の最も重要な形状から始めます。
楕円軌道の解剖学
ケプラーの第一法則
ヨハネス・ケプラーは1609年に、惑星が太陽の周りで楕円を回転していることを発見しました。太陽は1つの焦点に位置しています。このことは革命的でした。何世紀も前に、天文学者は軌道が円であると仮定していました（または円の組み合わせ）。ケプラーは、幾何学がよりシンプルであることを示しましたが、より非対称的です。
楕円の幾何学:
- 半大軸（a）：最長径の半分。このものは軌道周期と総エネルギーを決定します。
- 半小軸（b）：最短径の半分。
- 焦点（F₁、F₂）：楕円内部の2つの特別な点。中央体（地球、太陽）は1つの焦点に位置しています。もう一つの焦点は空です。
- 偏心率（e）：楕円がどれくらい伸びているかを測定します。e = c/a，ここでcは中心から焦点までの距離です。
- e = 0：完全な円
- 0 < e < 1：楕円
- e = 1：抛物（脱出トラジェクトリ）
- e > 1：双曲線（接近トラジェクトリ）
- cận地点：軌道上で中央体から最も近い点（地球軌道の場合：降下点）
- 遠地点：中央体から最も遠い点（地球軌道の場合：高々点）
ケプラーの第二法則は、重要な制約を追加します：中央体から線が軌道に接続されている物体を通過することで、等面積の面積が等速にスイープされます。このことは、物体が cận地点で最も速く、遠地点で最も遅く移動することを意味します。楕円の幾何学は、すべてのポイントで速度を決定します。
偏心率と速度
Connecting Shape to Speed
The ISS orbits Earth in a nearly circular orbit: eccentricity about 0.0005. Halley's Comet orbits the Sun with eccentricity 0.967: an extremely elongated ellipse. At perihelion (closest to the Sun), Halley's Comet moves at 54.5 km/s. At aphelion (farthest), it crawls at 0.9 km/s. Same orbit, same object, but the geometry forces a 60:1 speed ratio.
Hohmann Transfer Ellipse
Changing Orbits Geometrically
円形軌道上の宇宙船は、より高い軌道に向かってエンジンを点けるだけでなく、直接的に進むことができません。軌道力学はそのように機能しません。代わりに、宇宙船は特定の幾何学的パスを遵守する必要があります：転送軌道：二つの円形軌道を接続する。
ホーマン転移軌道（1925年にウォルター・ホーマンが提案）は、共面の円軌道間で最も燃料効率的な二段階の転移です。その幾何学は優雅です：転移軌道は、内側の軌道のペリアプスが触れる楕円軌道です。また、外側の軌道のアポアプスが触れる。
二つの燃焼:
1. 燃焼1（ペリアプスで）: 内部の円軌道から転移楕円軌道に加速するために、前方のプロジューのエンジンを点火します。宇宙船はその後、楕円的パスを外側に従って進みます。
2. 燃焼2（アポアプスで）: 宇宙船が外側の軌道の高さに達すると、転移楕円軌道から外部の円軌道に加速するために、再び前方のプロジューのエンジンを点火します。
なぜこれが幾何学的に効果的か? 転移楕円軌道は、両方の円軌道に接するため、どちらも1つの点で触れます。このため、燃焼点での宇宙船の速度が円軌道に沿った方向に整列しているため、エンジンの全推力が速度（方向ではない）を変更するために使用されます。最高の効率です。
コスト: 高い軌道へのホーマン転移は時間がかかります。地球低軌道（LEO）から地球同期軌道（GEO）への転移は約5.3時間、月への転移は約3日かかります。
転移軌道の幾何学
ホーマンを超えて
ホーマン転移は、比較的小さな軌道変更のために最適です。しかし、大きな軌道変更の場合：例えば、LEO から 15 倍の高さへの軌道に：バイエリプティック転移は、3つの燃焼を使用するにもかかわらず、より燃料効率が高くなることがあります。幾何学的には、2つの転移楕円軌道が含まれます：1つは標的軌道に到達するために過剰に飛びます。
これは直感に反します：必要以上に遠くまで行き、戻ることで、直接行くよりも燃料が少なく使われるのです。原因は深く、軌道のエネルギーの幾何学にあります：オーベルト効果は、重力の影響を受ける速度が高いため、低い速度（遠い場所）で行うよりも燃焼が効率的であることを示しています。
第三次元
平面を離れる
これまでに2次元で働いてきました：平らな平面上の軌道として楕円を考慮しました。しかし、実際の軌道は3次元の空間にあるし、軌道平面の向きが非常に重要です。
軌道傾斜角は、軌道平面と赤道平面との間の角度です。0°（赤道軌道、赤道と同じ平面）から90°（極軌道、両極を通過）まで、180°（逆行赤道軌道、地球の回転方向と逆に回っている軌道）まで変わります。
ISSは傾斜角51.6°を持っています。これは、軌道平面が赤道から51.6°離れています。地球が回転するのを通過する間、ISSは51.6°Nおよび51.6°Sの間のすべての地点を通過します。
傾斜角を変更することは非常に高コストです。 平行な操縦（ホーマン転移）は軌道のサイズと形状を変更します。平面変更では、軸3D空間で回転する全軌道です。平面変更のために必要な速度変更の量は：
ΔV = 2V × sin(Δi/2)
ここでVは軌道速度であり、Δiは度数法で表した傾斜角の変化です。わずかな傾斜角の変更も、大きなΔVが必要です。これは、軌道速度ベクトル全体を再定向する必要があるためです、ではなくその大きさを増加または減少するだけの変更に限りません。
ISS軌道速度（7.7 km/s）では、1°の傾斜変更が約135 m/sのΔVを要します。カペ・カナベラルの緯度から赤道への28.5°の変更は、約3.8 km/sを要します：これは初めての軌道到達のために必要なΔVの半分近くです。
打ち上げサイトの利点
なぜ打ち上げサイトがどこにあるか
東へ向かってロケットが打ち上げられると、地球の回転による無料の速度ボーストが得られます。赤道上では、地球の表面が約465 m/s東方向に移動します。カペ・カナベラル（28.5°N）では約408 m/s、バイコヌール（45.6°N）では約325 m/sです。
しかし、幾何学的な制約があります：カペ・カナベラルから東に打ち上げられたロケットは、軌道に入る際の傾斜が打ち上げサイトの緯度と等しい：28.5°。カペ・カナベラルから赤道軌道（傾斜0°）に到達するには、28.5°の軌道平面変更が非常に高額です。
これが、ヨーロッパ宇宙庁がクールー、フランスギアナ（緯度5.2°N）から打ち上げる理由であり、中華人民共和国が19.6°Nのウェンチャンを建設した理由です。打ち上げサイトの緯度で節約する度数は、軌道上で支払う必要のない平面変更です。
五つの特別な点
重力の幾何学
二つの重力的な系（太陽と地球）において、どの位置でも重力の引力と軌道を回転している中力のセンチュリフォースが合計してゼロの力が作られます。これらのラグランジュ点は、1772年に数学的にジョゼフ・ルイ・ラグランジュによって発見されました。小さな物体がこれらの点に置かれれば、どちらの体にも関連なく静止していることができます。
五つの点:
L1: 太陽と地球の間、地球から約1.5百万kmのところ。太陽の引力はあなたを太陽方向に引っ張り、地球の引力はあなたを地球方向に引っ張り、軌道を回転している中力はあなたを外側に押します。L1では、これらがバランスします。SOHOとDSCOVRはここから太陽を観察しています。
L2: 太陽から地球の反対側、約1.5百万kmのところ。ここでは、太陽と地球の共に太陽方向に引力が働き、センチュリフォースとバランスします。JWSTはここを周回しています：太陽、地球、および月はすべて太陽板の後ろにいます。
L3: 太陽の反対側の地球のところ。理論的に興味深いですが、実践的には無用です：通信のために遠すぎ、太陽にブロックされます。
L4とL5: 太陽、地球、およびラグランジュ点から形成される等辺三角形の頂点に位置します。L4は地球の軌道の前方に60°、L5は後方に60°です。これらは、物体が配置されたら自然に戻る唯一の安定したラグランジュ点です。
安定性: L1、L2、およびL3は不安定です：球を丘の上にバランスさせるようなものです。小さな押し付けると、物体が離れて行きます。L1およびL2に位置する宇宙船は、定期的なステーションキープングのための燃焼を実行する必要があります。L4およびL5は安定しています：ボウルの中のボールのようなものです。移動された物体は、点周辺で振動します。JupiterのL4およびL5ポイントには、数千のトロヤン小惑星が数億年間で集まりました。
均衡の幾何学
なぜ等辺三角形か？
L4 および L5 が等辺三角形の頂点に位置することは偶然ではなく、重力幾何学の深い結果です。証明は、より小さい天体の60°前または後ろで、重力勾配がコリオリス力のウェルを作り、物体を捕獲することを示すものです。
実用的な適用は大きいです。NASAのルーシー・ミッションは、木星のトロヤ小惑星をL4 & L5に訪問します。LISAパスファインダー・ミッションは、太陽-地球 L1で重力波検出技術をテストしました。ヘルシェル（2009年）以来、すべての主要な宇宙望遠鏡は L2に設置されています。