un — कक्षीय यांत्रिकी की ज्यामिति

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अंतरिक्ष उड़ान ज्यामिति है। प्रत्येक कक्षा एक शंकु परिच्छेद है: एक आकृति जो आप शंकु को समतल से काटकर प्राप्त करते हैं। प्रत्येक उपग्रह, प्रत्येक ग्रह, प्रत्येक धूमकेतु का प्रक्षेपवक्र चार वक्रों में से एक है: वृत्त, दीर्घवृत्त, परवलय, या अतिपरवलय। कौन सा यह इस बात पर निर्भर करता है कि वस्तु कितनी तेजी से गति कर रही है।

यह पाठ उस ज्यामिति को कवर करता है जो मिशन योजनाकार प्रक्षेपवक्र डिजाइन करने, कक्षाओं को बदलने, कक्षीय तलों को संरेखित करने और अंतरिक्ष यान को गुरुत्वाकर्षण संतुलन बिंदुओं पर रखने के लिए उपयोग करते हैं। ये सन्निकटन या सरलीकरण नहीं हैं: Kepler के नियम और न्यूटोनियन गुरुत्वाकर्षण सटीक ज्यामितीय समाधान देते हैं जिन्होंने इतिहास के हर अंतरिक्ष मिशन को निर्देशित किया है।

हम कक्षीय यांत्रिकी में सबसे महत्वपूर्ण आकृति के साथ शुरुआत करते हैं: दीर्घवृत्त।

दीर्घवृत्ताकार कक्षा की रचना

Kepler का प्रथम नियम

अर्ध-मुख्य अक्ष, अर्ध-लघु अक्ष, नाभि, पेरीएप्सिस, और एपोएप्सिस के साथ लेबल किए गए दीर्घवृत्ताकार कक्षा

Johannes Kepler ने 1609 में खोजा कि ग्रह सूर्य के चारों ओर दीर्घवृत्तों में परिक्रमा करते हैं, सूर्य एक नाभि पर है। यह क्रांतिकारी था: सदियों से खगोलविदों ने माना था कि कक्षाएँ वृत्ताकार थीं (या वृत्तों का संयोजन)। Kepler ने दिखाया कि ज्यामिति सरल थी लेकिन कम सममित थी।

दीर्घवृत्त की ज्यामिति:

- अर्ध-मुख्य अक्ष (a): सबसे लंबे व्यास का आधा। यह कक्षीय अवधि और कुल ऊर्जा निर्धारित करता है।

- अर्ध-लघु अक्ष (b): सबसे छोटे व्यास का आधा।

- नाभि (F₁, F₂): दीर्घवृत्त के अंदर दो विशेष बिंदु। केंद्रीय पिंड (पृथ्वी, सूर्य) एक नाभि पर बैठता है। दूसरी नाभि खाली है।

- विकेंद्रता (e): मापता है कि दीर्घवृत्त कितना लंबित है। e = c/a, जहाँ c केंद्र से नाभि की दूरी है।

- e = 0: पूर्ण वृत्त

- 0 < e < 1: दीर्घवृत्त

- e = 1: परवलय (अलग होने का प्रक्षेपवक्र)

- e > 1: अतिपरवलय (उड़ान-बाय प्रक्षेपवक्र)

- पेरीएप्सिस: कक्षा पर वह बिंदु जो केंद्रीय पिंड के सबसे निकट है (पृथ्वी कक्षाओं के लिए: पेरीजी)

- एपोएप्सिस: केंद्रीय पिंड से सबसे दूर बिंदु (पृथ्वी कक्षाओं के लिए: एपोजी)

Kepler का द्वितीय नियम एक महत्वपूर्ण बाधा जोड़ता है: केंद्रीय पिंड से परिक्रमा करने वाली वस्तु तक एक रेखा समान समय में समान क्षेत्र को स्वीप करती है। इसका मतलब है कि वस्तु पेरीएप्सिस पर सबसे तेज और एपोएप्सिस पर सबसे धीमी गति से चलती है। दीर्घवृत्त की ज्यामिति प्रत्येक बिंदु पर गति निर्धारित करती है।

विकेंद्रता और गति

आकृति को गति से जोड़ना

ISS पृथ्वी के चारों ओर लगभग वृत्ताकार कक्षा में परिक्रमा करता है: विकेंद्रता लगभग 0.0005। Halley का धूमकेतु सूर्य के चारों ओर 0.967 की विकेंद्रता के साथ परिक्रमा करता है: एक अत्यंत लंबित दीर्घवृत्त। पेरिहेलियन (सूर्य के सबसे निकट) पर, Halley का धूमकेतु 54.5 km/s पर गति करता है। एफेलियन (सबसे दूर) पर, यह 0.9 km/s पर रेंगता है। एक ही कक्षा, एक ही वस्तु, लेकिन ज्यामिति 60:1 गति अनुपात को मजबूर करती है।

ISS की लगभग वृत्ताकार कक्षा (e ≈ 0) है लगभग 400 km ऊंचाई पर। रूसी संचार उपग्रहों द्वारा उपयोग की जाने वाली Molniya कक्षा में 0.74 की विकेंद्रता है जिसमें 500 km की पेरीजी है और लगभग 39,900 km की एपोजी है। Kepler का द्वितीय नियम (समान समय में समान क्षेत्र) का उपयोग करते हुए, समझाइए कि Molniya उपग्रह अपनी कक्षीय अवधि के अधिकांश समय एपोजी के निकट क्यों रहता है। उच्च-अक्षांश क्षेत्रों के लिए संचार कवरेज के लिए यह ज्यामितीय रूप से कैसे उपयोगी है?

Hohmann स्थानान्तरण दीर्घवृत्त

ज्यामितीय रूप से कक्षाओं को बदलना

दो वृत्ताकार कक्षाएँ, स्थानान्तरण दीर्घवृत्त, दहन बिंदु, स्पर्शिकता चिह्न, और vis-viva सूत्र दिखाता Hohmann स्थानान्तरण दीर्घवृत्त

एक वृत्ताकार कक्षा में अंतरिक्ष यान सरलता से एक उच्च कक्षा की ओर इशारा नहीं कर सकता और अपने इंजन को आग लगा सकता है। कक्षीय यांत्रिकी इस तरह काम नहीं करता है। इसके बजाय, अंतरिक्ष यान को एक विशिष्ट ज्यामितीय पथ का पालन करना चाहिए: एक स्थानान्तरण कक्षा: जो दो वृत्ताकार कक्षाओं को जोड़ता है।

Hohmann स्थानान्तरण (Walter Hohmann द्वारा 1925 में प्रस्तावित) सहतलीय वृत्ताकार कक्षाओं के बीच सबसे ईंधन-कुशल दो-दहन स्थानान्तरण है। इसकी ज्यामिति सुरुचिपूर्ण है: स्थानान्तरण कक्षा एक दीर्घवृत्त है जिसका पेरीएप्सिस आंतरिक कक्षा को स्पर्श करता है और जिसका एपोएप्सिस बाहरी कक्षा को स्पर्श करता है।

दो दहन:

1. दहन 1 (पेरीएप्सिस पर): आंतरिक वृत्ताकार कक्षा से स्थानान्तरण दीर्घवृत्त पर त्वरित करने के लिए प्रोग्रेड (आगे की ओर) दिशा में इंजन दहन करें। अंतरिक्ष यान अब दीर्घवृत्त पथ का पालन करता है बाहर की ओर।

2. दहन 2 (एपोएप्सिस पर): जब अंतरिक्ष यान बाहरी कक्षा की ऊंचाई तक पहुंचता है, स्थानान्तरण दीर्घवृत्त से बाहरी वृत्ताकार कक्षा पर त्वरित करने के लिए इंजन को प्रोग्रेड दिशा में दहन करें।

यह ज्यामितीय रूप से क्यों काम करता है? स्थानान्तरण दीर्घवृत्त दोनों वृत्ताकार कक्षाओं के लिए स्पर्शी है: यह प्रत्येक को बिल्कुल एक बिंदु पर स्पर्श करता है। इसका मतलब है कि दहन बिंदुओं पर अंतरिक्ष यान का वेग वृत्ताकार कक्षा के साथ संरेखित है, इसलिए सभी इंजन थ्रस्ट गति बदलने में जाता है (दिशा नहीं)। अधिकतम क्षमता।

लागत: बहुत अधिक कक्षा के लिए Hohmann स्थानान्तरण समय लेता है। निम्न पृथ्वी कक्षा (LEO) से भूस्थिर कक्षा (GEO) तक स्थानान्तरण लगभग 5.3 घंटे लेता है। चंद्रमा तक स्थानान्तरण लगभग 3 दिन लेता है।

स्थानान्तरण कक्षा ज्यामिति

Hohmann से परे

Hohmann स्थानान्तरण मामूली कक्षा परिवर्तनों के लिए इष्टतम है। लेकिन बहुत बड़े कक्षा परिवर्तनों के लिए: कहो, LEO से एक 15 गुना अधिक कक्षा के लिए: एक द्वि-दीर्घवृत्ताकार स्थानान्तरण वास्तव में अधिक ईंधन-कुशल हो सकता है, भले ही यह तीन दहन का उपयोग करता है और बहुत लंबा समय लेता है। ज्यामिति में दो स्थानान्तरण दीर्घवृत्त शामिल हैं: एक जो लक्ष्य कक्षा को आगे बढ़ाता है, और एक जो इसके लिए वापस आता है।

यह प्रति-सहज है: जहां आपको जाना है उससे आगे जाना, फिर वापस आना, सीधे जाने की तुलना में कम ईंधन का उपयोग करता है। कारण कक्षीय ऊर्जा की ज्यामिति में गहरा है: Oberth प्रभाव का मतलब है कि उच्च वेग पर दहन (एक विशाल पिंड के करीब) कम वेग पर दहन (एक विशाल पिंड से दूर) से अधिक कुशल हैं।

एक अंतरिक्ष यान h₁ ऊंचाई पर एक वृत्ताकार कक्षा में है। इसे h₂ ऊंचाई पर एक वृत्ताकार कक्षा तक पहुंचने की आवश्यकता है (बहुत अधिक)। h₁ और h₂ के संदर्भ में Hohmann स्थानान्तरण दीर्घवृत्त की ज्यामिति का वर्णन करें। स्थानान्तरण दीर्घवृत्त की अर्ध-मुख्य अक्ष क्या है? दहन को स्थानान्तरण दीर्घवृत्त के पेरीएप्सिस और एपोएप्सिस पर क्यों होना चाहिए: यदि अंतरिक्ष यान स्थानान्तरण दीर्घवृत्त पर कुछ अन्य बिंदु पर अपने इंजन को आग लगाता तो क्या होता?ज्यामितीय रूप से क्या होगा?

तीसरा आयाम

विमान छोड़ना

भूमध्य तल, ISS कक्षा 51.6 डिग्री पर, ध्रुवीय कक्षा 90 डिग्री पर, और भूमध्य कक्षा 0 डिग्री पर दिखाता कक्षीय झुकाव आरेख

अब तक हमने दो आयामों में काम किया है: कक्षाएँ एक सपाट तल में दीर्घवृत्त के रूप में। लेकिन वास्तविक कक्षाएँ त्रि-आयामी अंतरिक्ष में मौजूद हैं, और कक्षीय तल का अभिविन्यास बहुत महत्वपूर्ण है।

कक्षीय झुकाव कक्षीय तल और भूमध्य तल के बीच का कोण है। यह 0° (भूमध्य कक्षा, भूमध्य के समान तल) से 90° (ध्रुवीय कक्षा, दोनों ध्रुवों पर गुजरते हुए) से 180° (प्रतिगामी भूमध्य कक्षा, पृथ्वी के घूर्णन के विपरीत परिक्रमा) तक होता है।

ISS का झुकाव 51.6° है। इसका अर्थ है कि इसका कक्षीय तल भूमध्य से 51.6° झुका हुआ है। जैसे ही पृथ्वी इसके नीचे घूमती है, ISS 51.6°N और 51.6°S अक्षांशों के बीच पृथ्वी पर हर बिंदु पर गुजरता है।

झुकाव बदलना बेहद महंगा है। तल-में युद्धाभ्यास (जैसे Hohmann स्थानान्तरण) कक्षा के आकार और आकार को बदलते हैं। तल परिवर्तन पूरी कक्षा को 3D अंतरिक्ष में घुमाते हैं। तल परिवर्तन के लिए आवश्यक वेग परिवर्तन है:

ΔV = 2V × sin(Δi/2)

जहाँ V कक्षीय वेग है और Δi डिग्री में झुकाव परिवर्तन है। यहां तक कि एक छोटा झुकाव परिवर्तन भी एक बड़ा ΔV की आवश्यकता होती है क्योंकि आपको पूरी कक्षीय वेग सदिश को पुनर्निर्देशित करना चाहिए, केवल परिमाण को बढ़ाना या घटाना नहीं।

ISS कक्षीय वेग (7.7 km/s) पर, 1° झुकाव परिवर्तन की लागत लगभग 135 m/s ΔV है। 28.5° परिवर्तन (Cape Canaveral की अक्षांश से भूमध्य तक) की लागत लगभग 3.8 km/s है: कक्षा तक पहुंचने के लिए आवश्यक ΔV का लगभग आधा।

प्रक्षेपण स्थल लाभ

प्रक्षेपण स्थल कहाँ हैं इसका कारण

जब रॉकेट पूर्व की ओर लॉन्च होता है, तो इसे पृथ्वी के घूर्णन से एक मुफ्त वेग बूस्ट मिलता है। भूमध्य पर, पृथ्वी की सतह पूर्व की ओर लगभग 465 m/s पर चलती है। Cape Canaveral (28.5°N) पर, यह लगभग 408 m/s है। Baikonur (45.6°N) पर, लगभग 325 m/s है।

लेकिन एक ज्यामितीय बाधा है: Cape Canaveral से पूर्व की ओर लॉन्च किया गया रॉकेट प्रक्षेपण स्थल की अक्षांश के बराबर झुकाव के साथ एक कक्षा में प्रवेश करता है: 28.5°। भूमध्य कक्षा (झुकाव 0°) तक पहुंचने के लिए Cape Canaveral से, आपको 28.5° तल परिवर्तन करना चाहिए: जो बेहद महंगा है।

यह समझाता है कि क्यों European Space Agency Kourou, French Guiana (अक्षांश 5.2°N) से लॉन्च करता है और क्यों चीन ने Wenchang को 19.6°N पर बनाया। प्रक्षेपण स्थल पर अक्षांश का हर डिग्री जो आप बचाते हैं, कक्षा में झुकाव परिवर्तन का एक डिग्री है जो आपको भुगतान नहीं करना पड़ता।

ISS 51.6° झुकाव पर परिक्रमा करता है। Space Shuttle Cape Canaveral से 28.5°N अक्षांश पर लॉन्च हुआ। ISS झुकाव 28.5° के बजाय 51.6° पर क्यों सेट किया गया था (जो NASA के लिए पहुंचने के लिए सस्ता होता)? सोचिए कि कौन सा देश ISS बनाने में एक प्रमुख भागीदार था और इसके प्रक्षेपण स्थल की अक्षांश क्या है। फिर समझाइए: यह ज्यामितीय रूप से कहाँ आसान है कि आपके अक्षांश की तुलना में उच्च झुकाव में लॉन्च करना आपके अक्षांश की तुलना में निम्न झुकाव में लॉन्च करने की तुलना में?

पाँच विशेष बिंदु

गुरुत्वाकर्षण ज्यामिति

सूर्य-पृथ्वी Lagrange बिंदु L1 से L5 तक अंतरिक्ष यान उदाहरणों के साथ

किसी भी दो-पिंड गुरुत्वाकर्षण प्रणाली (जैसे सूर्य और पृथ्वी) में, बिल्कुल पाँच बिंदु हैं जहाँ दोनों पिंडों का गुरुत्वाकर्षण आकर्षण, कक्षीय केंद्रीय बल के साथ संयुक्त, शुद्ध शून्य बल बनाता है। इन बिंदुओं में से एक पर रखा गया एक छोटा वस्तु दोनों पिंडों के सापेक्ष स्थिर रह सकता है। ये Lagrange बिंदु हैं, जिन्हें Joseph-Louis Lagrange द्वारा 1772 में गणितीय रूप से खोजा गया था।

पाँच बिंदु:

L1: सूर्य और पृथ्वी के बीच, पृथ्वी से लगभग 1.5 मिलियन km दूर। सूर्य का गुरुत्वाकर्षण आपको सूर्य की ओर खींचता है, पृथ्वी का गुरुत्वाकर्षण आपको पृथ्वी की ओर खींचता है, और कक्षीय केंद्रीय बल आपको बाहर की ओर धकेलता है। L1 पर, ये संतुलित होते हैं। SOHO और DSCOVR यहाँ से सूर्य का निरीक्षण करते हैं।

L2: पृथ्वी के परे सूर्य से, लगभग 1.5 मिलियन km बाहर। यहाँ सूर्य और पृथ्वी का संयुक्त गुरुत्वाकर्षण (दोनों सूर्य की ओर खींचते हैं) केंद्रीय बल को संतुलित करता है। JWST यहाँ परिक्रमा करता है: यह सूर्य, पृथ्वी, और चंद्रमा को अपने सूर्य ढाल के पीछे रखता है।

L3: सूर्य के विपरीत पक्ष पर पृथ्वी से। सैद्धांतिक रूप से दिलचस्प लेकिन व्यावहारिक रूप से बेकार: संचार के लिए बहुत दूर और सूर्य द्वारा अवरुद्ध।

L4 और L5: सूर्य, पृथ्वी, और Lagrange बिंदु द्वारा गठित समबाहु त्रिभुजों के शीर्षों पर। L4 अपनी कक्षा में पृथ्वी से 60° आगे है, L5 60° पीछे है। ये एकमात्र स्थिर Lagrange बिंदु हैं: यहाँ रखी गई वस्तुएँ विस्थापित होने पर स्वाभाविक रूप से वापस आती हैं।

स्थिरता: L1, L2, और L3 अस्थिर हैं: एक पहाड़ी के शीर्ष पर संतुलित गेंद की तरह। एक छोटा धक्का और वस्तु दूर चली जाती है। L1 और L2 पर अंतरिक्ष यान को नियमित स्टेशन-रखरखाव दहन करना चाहिए। L4 और L5 स्थिर हैं: कटोरी में गेंद की तरह। विस्थापित वस्तुएँ बिंदु के चारों ओर दोलन करती हैं। Jupiter के L4 और L5 बिंदुओं में अरबों वर्षों में हजारों Troy क्षुद्रग्रह एकत्रित हुए हैं।

संतुलन की ज्यामिति

समबाहु त्रिभुज क्यों?

तथ्य यह है कि L4 और L5 समबाहु त्रिभुजों के शीर्षों पर बैठते हैं, यह मनमाना नहीं है: यह गुरुत्वाकर्षण ज्यामिति का एक गहरा परिणाम है। प्रमाण में दिखाया जाता है कि छोटे पिंड से 60° आगे या पीछे, गुरुत्वाकर्षण ढाल एक Coriolis-बल कुआँ बनाता है जो वस्तुओं को फँसाता है।

व्यावहारिक अनुप्रयोग महत्वपूर्ण हैं। NASA का Lucy मिशन L4 और L5 पर Jupiter के Troy क्षुद्रग्रहों का दौरा कर रहा है। LISA Pathfinder मिशन ने Sun-Earth L1 पर गुरुत्वाकर्षण तरंग पहचान प्रौद्योगिकी का परीक्षण किया। Herschel (2009) के बाद से हर प्रमुख अंतरिक्ष दूरबीन L2 पर रखी गई है।

JWST L2 पर परिक्रमा करता है, पृथ्वी से लगभग 1.5 मिलियन km दूर। समझाइए कि L2 अंतरिक्ष दूरबीन के लिए एक आदर्श स्थान क्यों है। कम से कम तीन ज्यामितीय या भौतिक लाभों पर विचार करें। फिर समझाइए: अगर L2 अस्थिर है, तो JWST वहाँ कैसे रहता है? अगर इसके स्टेशन-रखरखाव थ्रस्टर विफल हो जाते तो क्या होता?