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अंतरिक्ष यान है ज्यामिति। प्रत्येक कक्षा एक वृत्तीय विच्छेद है: एक आकार जिसे एक वृत्त के साथ एक वृत्त काटने से प्राप्त किया जाता है। प्रत्येक उपग्रह, प्रत्येक ग्रह, प्रत्येक कोमा का मार्ग एक चार曲 है: वृत्त, वलय, पराबोला, या हाइपरबोला। जो एक है, इसके आधार पर गति की स्पीड।
इस पाठ में मिशन प्लानरों द्वारा ट्रैक्ट्रीज़ डिज़ाइन करने, कक्षीय मंडलों को बदलने, ध्रुवीय मंडलों को संरेखित करने, और गुरुत्वाकर्षण संतुलन बिंदुओं पर अंतरिक्ष यान को पार्क करने के लिए उपयोग की जाने वाली ज्यामिति का विवरण है। ये अनुमान या सरलीकरण नहीं हैं: केप्लर के नियमों और न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के साथ किसी भी अंतरिक्ष यान के इतिहास में मिशन का निर्देशन करने वाली ज्यामिति के सटीक भौतिक समाधान हैं।
हम कक्षा मैकेनिक्स में सबसे महत्वपूर्ण आकार के साथ शुरू करते हैं: वलय।
वलयीय कक्षा का विनिर्देशन
केप्लर का पहला नियम
जोहान्स केप्लर ने 1609 में सूर्य के चारों ओर ग्रहों को वलयों में परिक्रमा करने का पता लगाया, जिसके एक फोकस में सूर्य था। यह क्रांतिकारी था: सदियों से, वैज्ञानिकों ने माना था कि कक्षाएँ वृत्त (या वृत्तों के संयोजन) हैं। केप्लर ने दिखाया कि ज्यामिति सरल थी, लेकिन कम सिमेट्रिक थी।
वलय की ज्यामिति:
- सबसे बड़े व्यास का आधा (a): सबसे लंबी दूरी का आधा। यह कक्षीय अवधि और कुल ऊर्जा निर्धारित करता है।
- सबसे छोटे व्यास का आधा (b): सबसे छोटी दूरी का आधा।
- फोकी (F₁, F₂): वलय के अंदर के दो विशेष बिंदु। एक फोकस में केंद्रीय शरीर (पृथ्वी, सूर्य) बैठता है। दूसरे फोकस में खाली है।
- विकर्णता (e): वलय के आकार को मापता है। e = c/a, जहां c केंद्र से फोकस तक की दूरी है।
- e = 0: पूर्ण वृत्त
- 0 < e < 1: वलय
- e = 1: पराबोला (निकास मार्ग)
- e > 1: हाइपरबोला (फ्लाईबाय मार्ग)
- परिअपैसिस: कक्षा के सबसे निकट का बिंदु केंद्रीय शरीर के लिए (पृथ्वी के लिए: परीग)
- अपोअपैसिस: केंद्रीय शरीर से सबसे दूर का बिंदु (पृथ्वी के लिए: अपोग)
केप्लर का दूसरा नियम में एक महत्वपूर्ण प्रतिबंध जोड़ता है: केंद्रीय शरीर से एक लाइन खींचता है जो कक्षा के तत्व को बराबर क्षेत्रों में बराबर समय में सweep करता है। इस मतलब है कि वस्तु परिअपैसिस पर तेजी से और अपोअपैसिस पर धीरे चलती है। वलय की ज्यामिति हर बिंदु पर गति निर्धारित करती है।
विकर्णता और गति
Connecting Shape to Speed
The ISS orbits Earth in a nearly circular orbit: eccentricity about 0.0005। Halley's Comet orbits the Sun with eccentricity 0.967: an extremely elongated ellipse। At perihelion (closest to the Sun), Halley's Comet moves at 54.5 km/s। At aphelion (farthest), it crawls at 0.9 km/s। Same orbit, same object, but the geometry forces a 60:1 speed ratio.
Hohmann Transfer Ellipse
Changing Orbits Geometrically
A spacecraft in a circular orbit cannot simply point itself at a higher orbit and fire its engines। Orbital mechanics does not work that way। Instead, the spacecraft must follow a specific geometric path: a transfer orbit: that connects the two circular orbits।
होहमन ट्रांसफर (1925 में वाल्टर होहमन द्वारा प्रस्तावित) को दो जलने वाले ट्रांसफर के बीच सबसे ईंधन-गहन माना जाता है, जो समानांतर सर्कुलर आर्बिट्स के लिए होते हैं। इसकी ज्यामिति सुंदर है: ट्रांसफर आर्क का परिहेलियस आंतरिक आर्क के साथ छूता है और बाहरी आर्क के साथ अपोहेलियस छूता है।
दो जलने:
1. जलना 1 (परिहेलियस पर): आंतरिक सर्कुलर आर्क से ट्रांसफर एलिप्सिस पर तेजी से बढ़ने के लिए प्रोग्रेड इंजन जलाएं। अब स्पेसक्राफ्ट एलिप्टिकल पथ के बाहर की ओर चलता है।
2. जलना 2 (अपोहेलियस पर): जब स्पेसक्राफ्ट बाहरी आर्क की ऊंचाई पर पहुंचता है, तो फिर से प्रोग्रेड इंजन जलाएं और ट्रांसफर एलिप्सिस से बाहरी सर्कुलर आर्क पर तेजी से बढ़ने के लिए तेजी से बढ़ें।
इसका क्यों काम करता है ज्यामितीय रूप से? ट्रांसफर एलिप्सिस समानांतर सर्कुलर आर्क के साथ स्पर्श करता है: यह एक ही समय पर प्रत्येक को छूता है। इसका मतलब है कि जलने के बिंदु पर स्पेसक्राफ्ट की गति सर्कुलर आर्क के साथ होने की स्थिति में है, इसलिए सभी इंजन के थ्रस्ट का उपयोग स्पीड में बदलाव (नहीं दिशा) में किया जाता है। अधिकतम कार्यक्षमता।
लागत: एक होहमन ट्रांसफर को बहुत अधिक आर्क में ले जाने के लिए समय लेता है। LEO से GEO तक का ट्रांसफर लगभग 5.3 घंटे लेता है। चांद तक का ट्रांसफर लगभग 3 दिनों का लेता है।
ट्रांसफर आर्क ज्यामिति
होहमन के बाद
होहमन ट्रांसफर मामूली आर्क परिवर्तन के लिए अनुकूल है। लेकिन बहुत बड़े आर्क परिवर्तन के लिए: LEO से 15 गुना अधिक ऊंचाई पर: बी-एलिप्टिक ट्रांसफर वास्तव में अधिक ईंधन-गहन हो सकता है, हालांकि इसे तीन जलाने का उपयोग करता है और बहुत अधिक समय लेता है। ज्यामिति में दो ट्रांसफर एलिप्सेस शामिल होते हैं: एक जो लक्ष्य आर्क को छूता है, और एक जो इसे वापस आता है।
यह विरोधाभासी है: ज्यादा दूर जाने के लिए, फिर वापस आने के लिए, कम ईंधन का उपयोग करता है बजाय सीधे जाने के। कारण गुरुत्वाकर्षण के विभाजन के भीतर है: ओबर्थ प्रभाव के रूप में जाना जाता है, जो ऊंचाई (निकट एक भारी शरीर) में जलने के लिए अधिक कार्यक्षमता प्रदान करता है, न कि निम्न ऊंचाई (दूर एक भारी शरीर) में।
तीसरा आयाम
प्लेन से बाहर निकलना
अब तक हमने दो आयामों में काम किया है: एक समतल में अर्धवृत्त के रूप में अर्धवृत्त। लेकिन वास्तविक पथ तीन-आयामी स्थान में मौजूद होते हैं, और पथ के झुकाव काrientation का मामला बहुत बड़ा है।
अधिभारीय झुकाव अर्धवृत्त के समतल प्लेन और समतल प्लेन के बीच कोण है। यह 0° (समतल पथ, समान प्लेन में समतल) से 90° (पोलर पथ, दोनों ध्रुवों को पार करता है) तक 180° (विपरीत समतल पथ, पृथ्वी के घूर्णन के विपरीत अर्धवृत्त की ओर) तक हो सकता है।
ISS का झुकाव 51.6° है। इसका अर्थ है कि इसके पथ का समतल 51.6° से समतल से झुका हुआ है। जब पृथ्वी नीचे घूमती है, ISS हर बिंदु को पार करता है जो 51.6°N और 51.6°S के बीच होता है।
झुकाव को बदलना बहुत महंगा है। सीधे लंबवत विन्यास (जैसे होहमन ट्रांसफर) पथ के आकार और आकार को बदलते हैं। प्लेन को बदलने के लिए पूरी तरह से पथ को 3D स्थान में प्रोटीन करता है। झुकाव को बदलने के लिए आवश्यक वेग परिवर्तन है:
ΔV = 2V × sin(Δi/2)
जहां V वेग है और Δi झुकाव का परिवर्तन होता है। एक छोटे से झुकाव के लिए भी बड़े ΔV की आवश्यकता होती है क्योंकि आपको पूरी वेग वेक्टर को निर्देशित करने की आवश्यकता है, नहीं कि इसकी मात्रा में वृद्धि या कमी।
ISS की ध्रुवीय गति (7.7 किमी/से) पर, 1° की झुकाव परिवर्तित 135 मीटर/से की ΔV का लागत आती है। 28.5° का परिवर्तन (केप केनवरल की देशान्तर से समतल में) लगभग 3.8 किमी/से की लागत आती है: लगभग प्रथम चरण में पहुंचने के लिए आवश्यक ΔV का लगभग आधा।
उड़ान स्थल लाभ
क्यों लॉन्च स्थल वहां हैं
जब एक रॉकेट पूर्व दिशा में लॉन्च होती है, तो इसे धरती की घूर्णन गति से मुफ्त वेग बढ़ाव मिलता है। समतल पर, धरती की सतह लगभग 465 मीटर/से पूर्व की ओर घूमती है। केप केनवरल (28.5°N) में, यह लगभग 408 मीटर/से है। बैकोनूर (45.6°N) में, लगभग 325 मीटर/से।
लेकिन यह ज्यामितीय सीमा है: केप केनवरल से पूर्व दिशा में लॉन्च होने वाली रॉकेट एक झुकाव समान लॉन्च स्थल के देशान्तर के साथ एक कक्षा में प्रवेश करती है: 28.5°। केप केनवरल से समतल कक्षा (झुकाव 0°) पहुंचने के लिए, आपको 28.5° का समतल परिवर्तन करना होगा: जो बहुत महंगा है।
यह समझाता है कि यूरोपीय अंतरिक्ष एजेंसी कौरू, फ्रांस गिनी (देशान्तर 5.2°N) से लॉन्च करती है और चीन ने 19.6°N पर वेंचांग का निर्माण किया। आपके लॉन्च स्थल के प्रत्येक देशान्तर की बचत एक कक्षा में झुकाव परिवर्तन की लागत को बचा सकती है।
पांच विशेष बिंदु
गुरुत्वीय भूगोल
किसी भी दो-कण गुरुत्वीय प्रणाली (जैसे सूर्य और पृथ्वी) में, दो शरीरों के गुरुत्वाकर्षण की चुम्बकीय धारा और कक्षा में परिक्रमा करते हुए सेंट्रीफ्यूगल बल के संयुक्त गुरुत्वाकर्षण बल के साथ एक नेट जीरो बल पैदा करते हैं। इन बिंदुओं में से एक पर एक छोटा वस्तु दोनों शरीरों के संबंध में स्थिर रह सकती है। ये लैग्रेंज बिंदु हैं, जिन्हें 1772 में गणितीय रूप से जोसेफ-लुइस लैग्रेंज ने खोजा था।
पांच बिंदु:
L1: सूर्य और पृथ्वी के बीच, पृथ्वी से 1.5 मिलियन किलोमीटर की दूरी पर। सूर्य का गुरुत्वाकर्षण आपको सूर्य की ओर खींचता है, पृथ्वी का गुरुत्वाकर्षण आपको पृथ्वी की ओर खींचता है, और कक्षा में परिक्रमा करते हुए आपको बाह्य रूप से धकेलता है। L1 पर, ये संतुलित होते हैं। SOHO और DSCOVR सूर्य को यहाँ से देखते हैं।
L2: पृथ्वी से सूर्य के पीछे की ओर, लगभग 1.5 मिलियन किलोमीटर की दूरी पर। यहाँ सूर्य और पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण (दोनों सूर्य की ओर खींचते हैं) सेंट्रीफ्यूगल बल के साथ संतुलित होते हैं। JWST इस जगह पर कक्षा में परिक्रमा करता है: यह सूर्य, पृथ्वी और चांद सभी को अपने सनशील्ड के पीछे रखता है।
L3: सूर्य के विपरीत पक्ष पर पृथ्वी से। सैद्धांतिक रूप से रुचि का विषय लेकिन पракृतिक रूप से उपयोगी नहीं: संचार के लिए बहुत दूर और सूर्य द्वारा अवरुद्ध।
L4 और L5: सूर्य, पृथ्वी और लैग्रेंज बिंदु के सूर्य के साथ समकोण त्रिभुज के कोनों पर स्थित हैं। L4 पृथ्वी की कक्षा में 60° आगे है, L5 60° पीछे है। ये एकमात्र स्थिर लैग्रेंज बिंदु हैं: यहां रखे गए वस्तुएँ स्वाभाविक रूप से वापस आती हैं जब वे हटा दिए जाते हैं।
स्थिरता: L1, L2 और L3 अस्थिर हैं: एक छोटे पुश के बाद वस्तु भूमि के शीर्ष पर संतुलन बनाए रखती है। L1 और L2 पर अंतरिक्ष यान स्थिरता के लिए नियमित रूप से स्टेशन-कीपिंग जलने की आवश्यकता होती है। L4 और L5 स्थिर हैं: एक छोटा वस्तु बाउल में गेंद की तरह होती है। हटा दिए जाने पर वस्तुएँ बिंदु के आसपास विचरण करती हैं। ज्यूपिटर के L4 और L5 बिंदु पर बिलियन्स ऑफ ईयर्स के लंबे समय के लिए हजारों ट्रोजन अंतरिक्ष यान एकत्र हो गए हैं।
संतुलन की भूगोल
क्यों समकोण त्रिभुज?
यह बात कि L4 और L5 समकोण त्रिभुज के भुजाओं के विन्दु पर स्थित है, अनिर्देश्य नहीं है: यह गुरुत्वाकर्षण भूगोल का गहन परिणाम है। प्रमाण में शामिल है कि 60° छोटे ग्रह के आगे या पीछे गुरुत्वाकर्षण ग्रेडिएंट एक कोरिओलिस-शक्ति कुएं बनाता है जो वस्तुएँ जकड़ लेता है।
प्रायोगिक अनुप्रयोग महत्वपूर्ण हैं। NASA की लूसी मिशन ने जुपिटर के ट्रोयान अंतरिक्ष क्षुद्रग्रहों का दौरा किया है L4 & L5 पर। LISA पथफ़ाइन्डर मिशन ने सूर्य-सौरमण्डल L1 पर गुरुत्वाकर्षण तरंगों की डिटेक्शन प्रौद्योगिकी का परीक्षण किया है। हर मुख्य अंतरिक्ष तेलीस्कोप हेर्शल (2009) के बाद L2 पर रखा गया है।