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太空飛行就是幾何。每個軌道都是圓錐截面：一種通過用平面切割圓錐而得到的形狀。每顆衛星、每個行星、每顆彗星的軌跡都是四條曲線之一：圓形、橢圓、拋物線或雙曲線。具體是哪一條取決於物體運動的速度。
本課涵蓋任務規劃人員用來設計軌跡、改變軌道、調整軌道平面和在引力平衡點停靠航天器的幾何學。這些不是近似或簡化：開普勒定律和牛頓引力提供了精確的幾何解決方案，指導了歷史上每一次太空任務。
我們從軌道力學中最重要的形狀開始：橢圓。
橢圓軌道的解剖
開普勒第一定律
約翰尼斯·開普勒在1609年發現行星繞太陽運行的軌道是橢圓，太陽位於一個焦點。這是革命性的：幾個世紀以來，天文學家一直假設軌道是圓形的（或圓形的組合）。開普勒表明幾何更簡單，但對稱性更低。
橢圓的幾何：
- 半長軸 (a)： 最長直徑的一半。它決定了軌道週期 & 總能量。
- 半短軸 (b)： 最短直徑的一半。
- 焦點 (F₁, F₂)： 橢圓內的兩個特殊點。中心天體（地球、太陽）位於一個焦點。另一個焦點是空的。
- 離心率 (e)： 衡量橢圓的拉長程度。e = c/a，其中 c 是從中心到焦點的距離。
- e = 0：完美圓形
- 0 < e < 1：橢圓
- e = 1：拋物線（逃逸軌跡）
- e > 1：雙曲線（飛過軌跡）
- 近地點： 軌道上最接近中心天體的點（對於地球軌道：近地點）
- 遠地點： 軌道上距中心天體最遠的點（對於地球軌道：遠地點）
開普勒第二定律增加了一個關鍵約束：從中心天體到運行物體的直線在相等的時間內掃過相等的面積。這意味著物體在近地點速度最快 & 在遠地點速度最慢。橢圓的幾何決定了每個點的速度。
離心率和速度
將形狀與速度連結
國際空間站繞地球的軌道幾乎是圓形的：離心率約為0.0005。哈雷彗星繞太陽運行，離心率為0.967：一個極度拉長的橢圓。在近日點（最接近太陽），哈雷彗星以54.5 km/s的速度運動。在遠日點（最遠處），它以0.9 km/s爬行。相同的軌道，相同的物體，但幾何強制了60:1的速度比。
霍曼轉移橢圓
幾何改變軌道
太空船在圓形軌道上不能簡單地指向更高的軌道並啟動引擎。軌道力學不是那樣工作的。相反，太空船必須遵循特定的幾何路徑：轉移軌道，連接兩個圓形軌道。
霍曼轉移（由沃爾特·霍曼於1925年提出）是共面圓形軌道之間燃油效率最高的雙燃燒轉移。其幾何優雅：轉移軌道是一個橢圓，其近地點接觸內軌道 & 其遠地點接觸外軌道。
兩次燃燒：
1. 燃燒1（在近地點）： 引擎順向（向前）啟動以從內圓形軌道加速到轉移橢圓。太空船現在沿著橢圓路徑向外運行。
2. 燃燒2（在遠地點）： 當太空船達到外軌道高度時，再次順向啟動引擎以從轉移橢圓加速到外圓形軌道。
為什麼幾何上有效？ 轉移橢圓與兩個圓形軌道相切：它只在一點接觸每一個。這意味著太空船在燃燒點的速度與圓形軌道對齊，所以所有的引擎推力都用於改變速度（而不是方向）。最高效率。
成本： 到更高軌道的霍曼轉移需要時間。從低地球軌道 (LEO) 到地球同步軌道 (GEO) 的轉移耗時約 5.3 小時。到月球的轉移耗時約 3 天。
轉移軌道幾何
超越霍曼
霍曼轉移對於適度的軌道變化是最優的。但對於非常大的軌道變化：比如，從LEO到高度15倍的軌道：雙橢圓轉移實際上可以更燃油高效，儘管它使用三次燃燒並需要更長時間。幾何涉及兩個轉移橢圓：一個超射目標軌道，一個回到它。
這是違反直覺的：去比你需要的更遠，然後回來，比直接去使用更少的燃油。原因深深植根在軌道能量的幾何中：歐貝爾特效應意味著在高速度（接近大質量體）處的燃燒比在低速度（遠離大質量體）處的燃燒更高效。
第三維度
離開平面
到目前為止，我們在二維中工作：軌道作為平面中的橢圓。但真實的軌道存在於三維空間中，軌道平面的方向至關重要。
軌道傾角是軌道平面與赤道平面之間的角度。它的範圍從0°（赤道軌道，與赤道相同的平面）到90°（極地軌道，經過兩極）再到180°（逆行赤道軌道，繞地球相對於地球自轉方向相反）。
國際空間站的傾角為51.6°。這意味著其軌道平面相對於赤道傾斜51.6°。當地球在其下方旋轉時，國際空間站經過51.6°N & 51.6°S緯度之間的地球上的每一點。
改變傾角極其昂貴。 面內操作（如霍曼轉移）改變軌道的大小 & 形狀。平面改變在3D空間中旋轉整個軌道。速度變化所需的平面改變是：
ΔV = 2V × sin(Δi/2)
其中 V 是軌道速度 & Δi 是傾角變化（以度為單位）。甚至一個小的傾角改變也需要大的 ΔV，因為你必須重定向整個軌道速度向量，而不僅僅是增加或減少其大小。
在國際空間站軌道速度（7.7 km/s）下，1°傾角改變耗費約 135 m/s ΔV。28.5°改變（從肯尼迪航天中心的緯度到赤道）耗費約 3.8 km/s：幾乎是達到軌道所需 ΔV 的一半。
發射場優勢
為什麼發射場在它們的位置
當火箭向東發射時，它從地球自轉獲得免費的速度提升。在赤道，地球表面以每秒約465米的速度向東運動。在肯尼迪航天中心（北緯28.5°），約408 m/s。在拜科努爾（北緯45.6°），約325 m/s。
但有一個幾何約束：從肯尼迪航天中心向東發射的火箭進入一個傾角等於發射場緯度的軌道：28.5°。要從肯尼迪航天中心到達赤道軌道（傾角0°），你必須執行28.5°平面改變：這極其昂貴。
這解釋了為什麼歐洲太空局從法屬圭亞那庫魯發射（北緯5.2°）& 為什麼中國在文昌建造了發射場（北緯19.6°）。發射場你節省的每一度緯度都是你在軌道上不必支付的傾角改變的一度。
五個特殊點
引力幾何
在任何雙體引力系統（如太陽 & 地球）中，恰好有五個點，其中兩個天體的引力，結合軌道運動的離心力，產生淨零力。放置在這些點之一的小物體可以相對於兩個天體保持靜止。這些是拉格朗日點，由約瑟夫-路易·拉格朗日在1772年數學上發現。
五個點：
L1：在太陽和地球之間，距地球約150萬公里。太陽的引力將你拉向太陽，地球的引力將你拉向地球，軌道運動的離心力將你推向外側。在L1，這些力平衡。SOHO和DSCOVR從這裡觀察太陽。
L2：地球之外，距太陽更遠，約150萬公里。這裡太陽和地球的組合引力（都向太陽拉）與離心力平衡。詹姆斯韋伯太空望遠鏡在這裡軌道運行：它將太陽、地球和月球都保持在其遮光板之後。
L3：在太陽與地球相對的一側。理論上有趣但實際上無用：太遠而無法通訊，且被太陽遮擋。
L4 和 L5：在太陽、地球和拉格朗日點形成的等邊三角形的頂點處。L4 在地球軌道上超過60°，L5 在後面60°。這些是唯一穩定的拉格朗日點：放在這裡的物體在移動時自然返回。
穩定性： L1、L2 和 L3 是不穩定的：如同在山頂平衡一個球。輕微推動物體會漂移。L1 和 L2 處的航天器必須定期執行站保持燃燒。L4 和 L5 是穩定的：如同碗中的球。移動的物體在該點周圍振蕩。木星的 L4 和 L5 點在數十億年內收集了數千顆特洛伊小行星。
平衡的幾何
為什麼是等邊三角形？
L4 和 L5 位於等邊三角形頂點的事實並不是任意的：它是引力幾何的深刻結果。證明涉及顯示在較小天體前面或後面 60° 處，引力梯度創建一個科里奧利力阱，陷阱了物體。
實際應用是重要的。美國宇航局的露西任務正在訪問木星的特洛伊小行星，位於 L4 & L5。LISA 路徑探測器任務在太陽-地球 L1 測試了引力波探測技術。自赫歇爾（2009）以來的每個主要太空望遠鏡都被放置在 L2。