المساحة المتجهة الداخلية
فضاء هيلبرت H هو مساحة متجهات مجهزة بمقارنة متجهية ⟨·,·⟩ التي تحدد الجغرافيا، بالإضافة إلى شروط التكاملية (كل سلسلة كاوتشي تندمج في H).
في ديناميكيات الكمية، يمكن أن يكون H محدود الأبعاد (القطع، الأنظمة المغناطيسية) أو غير محدود الأبعاد (الموقع، السرعة). المقارنة بين حالتين |ψ⟩ و |φ⟩ هي ⟨ψ|φ⟩، وهي عدد مركب.
التناغم: حالة الكمية |ψ⟩ هي متجه وحدة: ⟨ψ|ψ⟩ = 1. مساحة الحالات هي بالتالي كرة الوحدة في H.
الorthogonality: حالتين |ψ⟩ و |φ⟩ متعامدتان عندما ⟨ψ|φ⟩ = 0. الحالتان المتعامدتان أكثر تميزًا: قياس مصمم لاكتشاف |ψ⟩ يملك احتمالًا صفرًا لfinding النظام في |φ⟩.
البنية الأساسية: أي مجموعة كاملة متجهة أوثونرمالية {|eᵢ⟩} مع ⟨eᵢ|eⱼ⟩ = δᵢⱼ تمثل H. البنية الأساسية الحسابية {|0⟩، |1⟩} للقطعة تتألف من متجهين وحدة متعامدین.
قياس كprojection
ملاحظة مرئية يخلق مجموعة من الحالات الموجبة {|aᵢ⟩} التي تشكل بنية أوثونرمالية. الحالة |ψ⟩ تمثل ك:
|ψ⟩ = Σᵢ cᵢ|aᵢ⟩, cᵢ = ⟨aᵢ|ψ⟩
الcoeficient cᵢ = ⟨aᵢ|ψ⟩ هو projection من |ψ⟩ على الحالة الموجبة |aᵢ⟩ - يعبر عن مدى أن |ψ⟩ يوجه نحو |aᵢ⟩.
قاعدة بيرن: P(aᵢ) = |cᵢ|² = |⟨aᵢ|ψ⟩|² = (طول projection)².
جغرافيا: الاحتمال يساوي مربع طول projection متجه الحالة على المساحة الموجبة. الطول الأطول من projection، الاحتمال الأكبر للنتيجة.
هذا هو بالضبط القاعدة الكلاسيكية لتفكيك المتجه إلى مكونات - إلا أن في QM، فقط مكون واحد 'يستمر' قياس، والاحتمال من أي من المكونات التي 'تستمر' يساوي مربع طولها.
تدوين أنواع القيمات
يحتوي حالة القيمة |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ مع |α|² + |β|² = 1 على العديد من الخيارات - لكن العديد منها يكون متساويًا في الحالة الفيزيائية. الفيزياء العالمية الإجمالية e^(iφ)|ψ⟩ متساوية في الحالة الفيزيائية مع |ψ⟩ (الاحتماليات لا تتغير لأن |e^(iφ)α|² = |α|²).
بعد إزالة الفيزياء العالمية الإجمالية، تعتمد حالة القيمة على عدد محدد من المعاملات الحقيقية:
|ψ(θ,φ)⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + e^(iφ) sin(θ/2)|1⟩
حيث θ ∈ [0°، 180°] هو الزاوية العمودية والزاوية φ ∈ [0°، 360°) هي الزاوية العمودية. هذه هي التكوين الجيومتيري للنقطة على كرة وحدة في ℝ³ - كرة بلوش.
القمم:
- θ = 0: |ψ⟩ = |0⟩ (القطب الشمالي)
- θ = 180°: |ψ⟩ = |1⟩ (القطب الجنوبي)
- θ = 90°: |ψ⟩ = (1/√2)|0⟩ + e^(iφ)|1⟩ (حالات المحيط، بما في ذلك |+⟩ = (|0⟩+|1⟩)/√2)
حالات متعامدة تقع في نقاط متقابلة على كرة بلوش. |0⟩ و |1⟩ في القطبين المعاكسين؛ |+⟩ و |−⟩ في النقاط المتقابلة المحيطية.
قراءة كرة بلوش
يتم تحويل جهاز القيمة في الكرة إلى نفسه - دورة. جهاز بولي X (مثل NOT الكلاسيكية) يقوم بتحويل |0⟩ إلى |1⟩ و |1⟩ إلى |0⟩. في كرة بلوش، يقوم X بدورة 180° حول المحور x: القطب الشمالي يُترجم إلى القطب الجنوبي.
فضاء هيلبرت للقمتين
فضاء هيلبرت للقمتين A و B هو الإنتاج التنسوري H_A ⊗ H_B. الدول الأساسية: |00⟩، |01⟩، |10⟩، |11⟩ (فضاء أربعة الأبعاد).
الدولة المتكاملة (أو الدولة الفريدة) لها الشكل:
|ψ_AB⟩ = |ψ_A⟩ ⊗ |ψ_B⟩
على سبيل المثال: |ψ_A⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ و |ψ_B⟩ = γ|0⟩ + δ|1⟩. الدولة المشتركة:
|ψ_AB⟩ = αγ|00⟩ + αδ|01⟩ + βγ|10⟩ + βδ|11⟩
تلاحظ أن أربعة الأعداد (αγ، αδ، βγ، βδ) تتوافق مع قيود: المصفوفة [[αγ، αδ]، [βγ، βδ]] لديها رتبة 1 — تُصنع كمنتج خارجي.
الدولة المترابطة هي أي دولة لا يمكن كتابتها كدولة متكاملة. الأكثر شهرة: حالة بل
|Φ⁺⟩ = (1/√2)(|00⟩ + |11⟩)
مصفوفة الأمplitudes [[1/√2، 0]، [0، 1/√2]] لديها رتبة 2 — لا يمكن أن تُصنع كمنتج خارجي. لا يُمكن أن يصف أي منها من الدول القطري state النظام.
اختبار التماثل
تفرض تركيب شلدت معيار هندسي للتناسق: الدولة المترابطة هي متكاملة إذا و فقط إذا كان رتب Schmidt = 1. رتبة Schmidt هي عدد القيم الفردية غير الصفرية لمصفوفة المعاملات للامواج الارتجاعية.
لدولة |ψ⟩ = Σᵢⱼ cᵢⱼ|ij⟩، قم بإنشاء المصفوفة 2×2 C = [[c₀₀، c₀₁]، [c₁₀، c₁₁]]. حسب القيم الفردية (الجذور المربعة للقيم الذاتية من C†C). مترابطة ↔ فقط قيمة فردية غير صفرية.