Der innere Produkt-Raum
Ein Hilbert-Raum H ist ein Vektorraum, der mit einem inneren Produkt ⟨·,·⟩ ausgestattet ist, das die Geometrie definiert, zusammen mit einer Vollständigkeitsbedingung (jede Cauchy-Folge konvergiert in H).
Für die Quantenmechanik kann H endlichdimensional (Qubits, Spin-Systeme) oder unendlichdimensional (Position, Impuls) sein. Das innere Produkt zweier Zustände |ψ⟩ und |φ⟩ ist ⟨ψ|φ⟩, eine komplexe Zahl.
Normalisierung: Ein Quantenzustand |ψ⟩ ist ein Einheitsvektor: ⟨ψ|ψ⟩ = 1. Das Zustandsraum ist daher der Einheitssphäre in H.
Orthogonalität: Zwei Zustände |ψ⟩ und |φ⟩ sind orthogonal, wenn ⟨ψ|φ⟩ = 0. Orthogonale Zustände sind maximal unterscheidbar: Eine Messung, die dazu entworfen ist, |ψ⟩ zu erkennen, hat keine Wahrscheinlichkeit, das System in |φ⟩ vorzufinden.
Basissatz: Jede vollständige oderthonormale Menge {|eᵢ⟩} mit ⟨eᵢ|eⱼ⟩ = δᵢⱼ spannt H. Die Computationsbasis {|0⟩, |1⟩} für ein Qubit besteht aus zwei orthogonalen Einheitsvektoren.
Messung als Projektion
Ein Beobachtungsbild erstellt einen Satz von Eigenzuständen {|aᵢ⟩}, die eine orthonormale Basis bilden. Der Zustand |ψ⟩ wird als folgt ausgedrückt:
|ψ⟩ = Σᵢ cᵢ|aᵢ⟩, cᵢ = ⟨aᵢ|ψ⟩
Das Koeffizient cᵢ = ⟨aᵢ|ψ⟩ ist die Projektion von |ψ⟩ auf den Eigenzustand |aᵢ⟩ - es misst, wie viel von |ψ⟩ in die |aᵢ⟩-Richtung zeigt.
Die Bornsche Regel: P(aᵢ) = |cᵢ|² = |⟨aᵢ|ψ⟩|² = (Projektionslänge)².
Geometrisch: Die Wahrscheinlichkeit entspricht dem Quadrat der Projektionslänge des Zustandsvektors auf das Eigenraum. Je länger die Projektion, desto wahrscheinlicher ist das Ergebnis.
Dies ist genau die klassische Regel zur Zerlegung eines Vektors in Komponenten - mit dem Unterschied, dass in QM nur eine Komponente 'überlebt' jede Messung, und die Wahrscheinlichkeit, welche überlebt, entspricht dem Quadrat ihrer Länge.
Parameterisierung von Qubit-Zuständen
Ein Qubit-Zustand |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ mit |α|² + |β|² = 1 hat unendlich viele Möglichkeiten - aber viele sind physikalisch äquivalent. Ein globales Phasenfaktor e^(iφ)|ψ⟩ ist physikalisch nicht von |ψ⟩ unterscheidbar (Wahrscheinlichkeiten bleiben unverändert, da |e^(iφ)α|² = |α|²).
Nach Entfernen des globalen Phasen hängt der Zustand eines Qubits von genau zwei reellen Parametern ab:
|ψ(θ,φ)⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + e^(iφ) sin(θ/2)|1⟩
wobei θ ∈ [0°, 180°] der Polwinkel und φ ∈ [0°, 360°) der Azimutwinkel sind. Das sind genau die sphärischen Koordinaten eines Punktes auf einer Einheitskugel in ℝ³ - der Bloch-Kugel.
Polkugel:
- θ = 0: |ψ⟩ = |0⟩ (Nordpol)
- θ = 180°: |ψ⟩ = |1⟩ (Südpol)
- θ = 90°: |ψ⟩ = (1/√2)|0⟩ + e^(iφ)|1⟩ (äquatoriale Zustände, einschließlich |+⟩ = (|0⟩+|1⟩)/√2)
Orthogonale Zustände befinden sich an entgegengesetzten Punkten auf der Bloch-Kugel. |0⟩ und |1⟩ befinden sich an den entgegengesetzten Polen; |+⟩ und |−⟩ befinden sich an entgegengesetzten äquatorialen Punkten.
Lesen der Bloch-Kugel
Ein Qubit-Gate ist eine unitäre Transformation U, die die Bloch-Kugel auf sich selbst abbildet - eine Drehung. Das Pauli-X-Gate (ähnlich einem klassischen NOT) mappt |0⟩ auf |1⟩ und |1⟩ auf |0⟩. Auf der Bloch-Kugel führt X eine 180°-Drehung um die x-Achse aus: Nordpol wird auf Südpol abgebildet.
Zweiteiliger Hilbert-Raum
Der Hilbert-Raum von zwei Qubits A und B ist das Tensorprodukt H_A ⊗ H_B. Basiszustände: |00⟩, |01⟩, |10⟩, |11⟩ (vierdimensionaler Raum).
Ein Produktzustand (oder trennbarer Zustand) hat die Form:
|ψ_AB⟩ = |ψ_A⟩ ⊗ |ψ_B⟩
Beispiel: |ψ_A⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ und |ψ_B⟩ = γ|0⟩ + δ|1⟩. Der gemeinsame Zustand:
|ψ_AB⟩ = αγ|00⟩ + αδ|01⟩ + βγ|10⟩ + βδ|11⟩
Achten Sie darauf, dass die vier Amplituden (αγ, αδ, βγ, βδ) eine Einschränkung erfüllen: Die Matrix [[αγ, αδ], [βγ, βδ]] hat Rang 1 - sie lässt sich als äußeres Produkt darstellen.
Ein verschränkter Zustand ist jeder Zustand, der NICHT als Produktzustand geschrieben werden kann. Am bekanntesten: der Bell-Zustand
|Φ⁺⟩ = (1/√2)(|00⟩ + |11⟩)
Die Amplitudenmatrix [[1/√2, 0], [0, 1/√2]] hat Rang 2 - sie lässt sich nicht als äußeres Produkt darstellen. Kein einzelner Qubit-Zustand beschreibt das System.
Trennbarkeitstest
Die Schmidt-Zerlegung liefert ein geometrisches Kriterium für Verschränung: Ein zweiteiliger Zustand ist trennbar, wenn und nur wenn sein Schmidt-Rang 1 beträgt. Der Schmidt-Rang entspricht der Anzahl der nicht-nullen Singularwerte der Amplitudenkoeffizientenmatrix.
Für einen zweiteiligen Zustand |ψ⟩ = Σᵢⱼ cᵢⱼ|ij⟩, forme die 2×2-Koeffizientenmatrix C = [[c₀₀, c₀₁], [c₁₀, c₁₁]]. Berechne die Singularwerte (Quadratwurzeln der Eigenwerte von C†C). Trennbar ↔ genau ein nicht-nuller Singularwert.