El Espacio de Producto Interno
Un espacio de Hilbert H es un espacio vectorial equipado con un producto interno ⟨·,·⟩ que define geometría, junto con una condición de completitud (cada sucesión de Cauchy converge en H).
Para la mecánica cuántica, H puede ser finito-dimensional (qubits, sistemas de spin) o infinito-dimensional (posición, momentum). El producto interno de dos estados |ψ⟩ y |φ⟩ es ⟨ψ|φ⟩, un número complejo.
Normalización: un estado cuántico |ψ⟩ es un vector unitario: ⟨ψ|ψ⟩ = 1. El espacio de estados es, por lo tanto, la esfera unitaria en H.
Perpendicularidad: dos estados |ψ⟩ y |φ⟩ son ortogonales cuando ⟨ψ|φ⟩ = 0. Estados ortogonales son distinguibles máximamente: una medición diseñada para detectar |ψ⟩ tiene cero probabilidad de encontrar el sistema en |φ⟩.
Base: cualquier conjunto completo othonormal {|eᵢ⟩} con ⟨eᵢ|eⱼ⟩ = δᵢⱼ espacia H. La base computacional {|0⟩, |1⟩} para un qubit consiste en dos vectores ortogonales unitarios.
Medición como Proyección
Una observable crea un conjunto de estados eigen {|aᵢ⟩} que forman una base orthonormal. El estado |ψ⟩ se expande como:
|ψ⟩ = Σᵢ cᵢ|aᵢ⟩, cᵢ = ⟨aᵢ|ψ⟩
El coeficiente cᵢ = ⟨aᵢ|ψ⟩ es la proyección de |ψ⟩ sobre el estado eigen |aᵢ⟩ — mide en qué dirección apunta |ψ⟩ en la dirección |aᵢ⟩.
La regla de Born: P(aᵢ) = |cᵢ|² = |⟨aᵢ|ψ⟩|² = (longitud de la proyección)².
Geométricamente: la probabilidad es igual al cuadrado de la longitud de la proyección del vector de estado sobre el subespacio eigente. Cuanto más larga sea la proyección, más probable es el resultado.
Esto es exactamente la regla clásica para descomponer un vector en componentes — excepto que en QM, solo una componente 'sobrevive' a cada medición, y la probabilidad de que una sobreviva es igual al cuadrado de su longitud.
Parametrización de estados de qubits
Un estado de qubit |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ con |α|² + |β|² = 1 tiene infinitas opciones, pero muchas son físicamente equivalentes. Una fase global adicional e^(iφ)|ψ⟩ es indistinguible físicamente de |ψ⟩ (las probabilidades no cambian porque |e^(iφ)α|² = |α|²).
Después de eliminar la fase global, el estado de un qubit depende exactamente de dos parámetros reales:
|ψ(θ,φ)⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + e^(iφ) sin(θ/2)|1⟩
donde θ ∈ [0°, 180°] es el ángulo polar y φ ∈ [0°, 360°) es el ángulo azimutal. Estos son exactamente los coordenadas esféricas de un punto en una esfera unitaria en ℝ³ — la esfera de Bloch.
Polos:
- θ = 0: |ψ⟩ = |0⟩ (polo norte)
- θ = 180°: |ψ⟩ = |1⟩ (polo sur)
- θ = 90°: |ψ⟩ = (1/√2)|0⟩ + e^(iφ)|1⟩ (estados ecuatoriales, incluido |+⟩ = (|0⟩+|1⟩)/√2)
Estados ortogonales se encuentran en puntos antipodales en la esfera de Bloch. |0⟩ y |1⟩ están en polos opuestos; |+⟩ y |−⟩ están en puntos equatoriales antipodales.
Lectura de la esfera de Bloch
Una puerta lógica de qubit es una transformación unitaria U que mapea la esfera de Bloch a sí misma - una rotación. La puerta lógica de Pauli X (análoga a una NOT clásica) mapea |0⟩ → |1⟩ y |1⟩ → |0⟩. En la esfera de Bloch, X realiza una rotación de 180° alrededor del eje x: el polo norte se mapea al polo sur.
Hilbert espacio de dos qubits
El espacio de Hilbert de dos qubits A y B es el producto tensorial H_A ⊗ H_B. Estados base: |00⟩, |01⟩, |10⟩, |11⟩ (espacio de cuatro dimensiones).
Un estado productivo (o estado separable) tiene la forma:
|ψ_AB⟩ = |ψ_A⟩ ⊗ |ψ_B⟩
Por ejemplo: |ψ_A⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ y |ψ_B⟩ = γ|0⟩ + δ|1⟩. El estado conjunto:
|ψ_AB⟩ = αγ|00⟩ + αδ|01⟩ + βγ|10⟩ + βδ|11⟩
Nota que los cuatro amplitudes (αγ, αδ, βγ, βδ) satisfacen una restricción: la matriz [[αγ, αδ], [βγ, βδ]] tiene rango 1 — se factoriza como un producto tensorial externo.
Un estado enredado es cualquier estado que NO pueda escribirse como un estado productivo. El más famoso: el estado de Bell
|Φ⁺⟩ = (1/√2)(|00⟩ + |11⟩)
La matriz de amplitudes [[1/√2, 0], [0, 1/√2]] tiene rango 2 — no se puede factorizar como un producto tensorial externo. Ningún estado de qubit individual describe el sistema.
Prueba de separabilidad
La descomposición de Schmidt proporciona un criterio geométrico para la enredidad: un estado de dos partes es separable si y solo si su rango de Schmidt es 1. El rango de Schmidt es igual al número de valores singulares no nulos de la matriz de coeficientes de amplitud.
Para un estado de dos qubits |ψ⟩ = Σᵢⱼ cᵢⱼ|ij⟩, forma la matriz de coeficientes 2x2 C = [[c₀₀, c₀₁], [c₁₀, c₁₁]]. Calcula los valores singulares (raíces cuadradas de los autovalores de C†C). Separable ↔ exactamente un valor singular no nulo.