Z-Plane sebagai Ruangan Desain
Transformasi Z mengubah urutan kofisien filter menjadi polinomial (atau fungsi rasional) dalam variabel kompleks z. Fungsi transfer H(z) memiliki:
- Nol: nilai z_k di mana H(z_k) = 0
- Kutub: nilai p_k di mana H(z) → ∞ (akar denominasi untuk filter rekursif)
Menghitung H(z) pada lingkaran unit z = e^{i2πf} memberikan respons frekuensi H(f). Lingkaran unit adalah tempat pertemuan stabilitas domain waktu dan analisis domain frekuensi.
Rumus Jarak-Pembagi
|H(f)| = ∏_k |e^{i2πf} − z_k| / ∏_k |e^{i2πf} − p_k|
Membaca respons dari plot:
- Nol pada lingkaran: jarak = 0 → pengecualian total
- Nol DALAM lingkaran: jarak > 0 → pengurangan sebagian dekat sudut tersebut
- Kutub DEKAT lingkaran: kecilnya pembilang → pengali besar (puncak)
- Kutub LUAR lingkaran: filter tidak stabil (Hanya IIR)
Mengatur Nol untuk Pengecualian
Untuk mengecualikan frekuensi f_0 sepenuhnya: tempatkan nol pada z_0 = e^{i2πf_0}.
Untuk mengecualikan baik f_0 dan frekuensi konjugatnya (untuk filter koefisien nyata): tempatkan nol pada e^{±i2πf_0}. Nol kompleks harus datang dalam pasangan konjugat untuk koefisien nyata.
Setiap nol menambah satu faktor pada numerator: (z − z_0). Filter yang mengecualikan N frekuensi memiliki N nol.
Pola Meningkatkan Respons
Sebuah pola di z = p menyumbang faktor 1/(z − p) terhadap H(z). Di dekat titik lingkaran satuan terdekat ke p, |e^{i2πf} − p| kecil, membuat |H(f)| besar. The closer the pole to the unit circle, the sharper the peak.
Batas Stabilitas
Untuk suatu filter rekursif (IIR), sistem stabil jika dan hanya jika semua pola berada di dalam lingkaran satuan secara ketat (|p| < 1). Sebuah pola di |p| = 1 menghasilkan osilasi yang bertahan lama (stabilitas margin). Sebuah pola di |p| > 1 menghasilkan osilasi yang tumbuh (tidak stabil).
Lingkaran satuan berfungsi sebagai batas stabilitas di ruang Z, sama seperti sumbu imajiner yang berfungsi sebagai batas stabilitas di ruang Laplace s untuk sistem waktu-terterbatas.
Cerita Shower Balik Hamming
Hamming menggambarkan stabilitas dengan shower yang membutuhkan menemukan suhu yang tepat. Pipa penundaan berarti koraksannya datang terlambat - dia terus melebihi. The feedback loop menjadi tidak stabil. IIR filters menghadapi risiko yang sama: terlalu banyak balik (polo terlalu dekat atau di luar lingkaran satuan) dan output diverges.
Stabilitas dari Lokasi Pola
Suatu filter IIR kedua-order memiliki fungsi transfer:
H(z) = 1 / (1 − a₁z⁻¹ − a₂z⁻²) = z² / (z² − a₁z − a₂)
Pola-pola adalah akar dari z² − a₁z − a₂ = 0.
Stabilitas: |p₁| < 1 dan |p₂| < 1 untuk kedua akar.
Metode Desain Grafis
Perancang filter berpengalaman menggambar plot kutub-zero sebelum menghitung apa-apa. Geometri tersebut mengungkap bentuk respons seketika.
Aturan Mengetahui Desain
1. Nol pada frekuensi yang tidak diinginkan: tempatkan nol pada lingkaran satuan pada sudut-sudut tersebut.
2. Bantuan frekuensi passband: tempatkan kutub dekat (tetapi di dalam) lingkaran satuan pada sudut frekuensi passband yang diinginkan.
3. Koefisien nyata: pastikan semua nol dan kutub kompleks muncul dalam pasangan konjugat.
4. Pengecekan stabilitas: pastikan semua kutub memenuhi |p| < 1 sebelum menghitung koefisien.
5. Lebar transisi: kutub yang lebih dekat dengan lingkaran satuan → transisi yang lebih tajam tetapi margin stabilitas yang lebih kecil.
Metode grafis mengkonversi spesifikasi teknik (lulus frekuensi ini, hentikan itu, dengan getaran ini) menjadi konstruksi geometri (tempatkan kutub dan nol di sini), kemudian membaca koefisien polinomial.