Z平面作为设计空间
Z变换将滤波器的系数序列转换为复变量z的多项式(或有理函数)。传递函数H(z)具有:
- 零点: H(z_k) = 0的地方,z_k的值
- 极点: H(z) → ∞的地方(递归滤波器的分母根)
在单位圆上评估H(z) z = e^{i2πf}给出了频率响应 H(f)。单位圆是时域稳定性和频域分析相交的边界。
距离乘积公式
|H(f)| = ∏_k |e^{i2πf} − z_k| / ∏_k |e^{i2πf} − p_k|
从图中读取响应:
- 零点在圆上:距离 = 0 → 完全消除
- 零点在圆内:距离 > 0 → 在该角度附近部分衰减
- 极点靠近圆:较小分母 → 较大增益(峰值)
- 极点在圆外:滤波器不稳定(IIR)
设计零点消除
要完全消除频率f_0:将零点放在z_0 = e^{i2πf_0}。
要消除f_0及其共轭频率(对于具有实系数的滤波器):将零点放在e^{±i2πf_0}。复零点必须以共轭对出现以满足实系数。
每个零点增加一个因子:(z − z_0)。消除N个频率的滤波器有N个零点。
极点增益响应
极点 z = p 对 H(z) 的贡献是 1/(z − p)。在离单位圆最近的极点附近，|e^{i2πf} − p| 很小，使得 |H(f)| 变大。极点靠近单位圆，峰值越尖。
稳定边界
对于递归(IIR)滤波器，只要所有极点都在单位圆内（|p| < 1），系统才是稳定的。如果极点在 |p| = 1 处，产生持续振荡（边缘稳定）。如果极点在 |p| > 1 处，产生振荡增长（不稳定）。
单位圆在 Z-平面上作为稳定边界，正如连续时间系统的拉普拉斯 s-平面上的虚轴那样。
Hamming 的反馈淋浴故事
Hamming 用淋浴来说明稳定性。他需要找到正确的温度。延迟管意味着他的纠正措施来得太晚——他总是过度补偿。反馈循环变得不稳定。同样，过多的反馈（极点太近或在单位圆外）IIR滤波器的输出会发生分歧。
极点位置的稳定性
一个第二阶IIR滤波器的传递函数为：
H(z) = 1 / (1 − a₁z⁻¹ − a₂z⁻²) = z² / (z² − a₁z − a₂)
极点是 z² − a₁z − a₂ = 0 的根。
稳定性：|p₁| < 1 和 |p₂| < 1 对于所有根。
图形设计方法
经验丰富的滤波器设计师在计算任何内容之前都绘制极零图。几何图形揭示了响应形状。
设计经验法则
1. 消除不想要的频率: 在那些角度处放置零点。
2. 通带增益: 在所需通带角度处放置极点，但在圆内。
3. 实系数: 确保所有复杂的零点和极点都以共轭对出现。
4. 稳定性检查: 在计算系数之前，验证所有极点满足 |p| < 1。
5. 过渡宽度: 极点靠近单位圆 → 过渡更锐利，但稳定性边缘更小。
图形方法将工程规范（通过这些频率，停止那些频率，以这种ripple）转换为几何约束（放置极点和零），然后读取出多项式系数。