फीडबैक संरचना
एक FIR (अनंत उत्तेजना प्रतिक्रिया) फिल्टर प्रत्येक आउटपुट नमूने को मौजूदा और पिछले इनपुट के वेटेड योग के रूप में गणना करता है। कोई फीडबैक नहीं। उत्तेजना प्रतिक्रिया की अवधि सीमित है।
एक IIR (अनंत उत्तेजना प्रतिक्रिया) फिल्टर पिछले आउटपुट को गणना में वापस फीड करता है:
y_n = Σ b_k · x_{n−k} − Σ a_k · y_{n−k}
पुनरावर्ती शब्द −Σ a_k · y_{n−k} फीडबैक पैदा करते हैं। एकल उत्तेजना प्रवेश का अंकुरण फीडबैक लूप के चारों ओर अनंत काल तक चलता है (गुणांकीय रूप से घटित होता है अगर स्थिर)।
फीडबैक का उपयोग क्यों करें?
एक IIR फिल्टर को एक FIR फिल्टर के समान स्टॉपबैंड ध्रुवीकरण के लिए बहुत कम कोэфिशिएंट की तुलना में तेज आवृत्ति सelection कर सकता है। एक 2-पोल IIR को समान स्टॉपबैंड ध्रुवीकरण के लिए 50-आत्मा के लिए आवश्यकता होती है।
मूल्य: संभव अस्थिरता। H(z) के पोल स्थिरता निर्धारित करते हैं। सभी पोल केंद्रीय वृत्त के अंदर सीमित होने चाहिए।
हैमिंग की फीडबैक शावर कहानी
हैमिंग ने फीडबैक अस्थिरता के उदाहरण के रूप में एक चमकीली व्यक्तिगत कहानी का उपयोग किया।
उन्होंने थकान के समय स्वयं को स्थापित करने में मदद करने के लिए उसी होटल के कमरे में बार-बार रुका। प्लंबर ने शॉवर में बड़े व्यास के हॉट-वॉटर पाइप लगाए थे।
इन्होंने प्रतिदिन इसी पैटर्न का पालन किया: पानी बहुत ठंडा → हॉट को उपर → अभी भी ठंडा → और उपर → अचानक गरम → बाहर कूद → नीचे टर्मिनल → पुनरावृत्ति।
फीडबैक पथ में विलंब उनके सुधार हमेशा अधिकार करते थे। उन्होंने थकान के बावजूद विलंब का मुकाबला नहीं किया।
तकनीकी सबक: अस्थिरता फीडबैक पथ में अधिक लाभ या फीडबैक पथ में अधिक विलंब के कारण होती है। दोनों समान परिस्थिति के रूप में विलंब व्यवहार प्रदर्शित करते हैं। फिल्टर शब्दों में: केंद्रीय वृत्त के अंदर नहीं होने वाले पोल इस oscillatory या diverging प्रतिक्रिया को उत्पन्न करते हैं।
अस्थिरता का वर्णन
हैमिंग ने देखा कि समान शावर अस्थिरता को दो तरीकों से विश्लेषण किया जा सकता है:
1. उसका जवाब बहुत ज्यादा मजबूत था (फीडबैक एक्शन में अधिक लाभ)।
2. उसकी डिटेक्शन बहुत देर से हो रही थी (टब में जल्दबाजी करने से पहले सिस्टम स्थिर होने का इंतज़ार कर रहा था)।
दोनों विवरण समान गणितीय परिणाम देते हैं: फीडबैक लूप का कोण बाहरी घेरे के बाहर जाता है।
चार क्लासिक परिवार
अनलॉग फिल्टर सिद्धांत को चार क्लासिक डिज़ाइन परिवारों में विकसित किया गया, प्रत्येक ने अलग-अलग ट्रेडऑफ़ का प्रतिनिधित्व किया। ये परिवार बिलाइनर ट्रांसफॉर्म या इंपुल्स इनवरिएंस के माध्यम से समय के अंतर को बदल देते हैं।
बटरवर्थ (सबसे सीधे)
पासबैंड रिस्पांस: |H(jω)|² = 1 / (1 + (ω/ω_c)^{2N}). लगातार घटता। पासबैंड या स्टॉपबैंड में निरंतर छोटा। पोल संख्या N के लिए सबसे सीधे पासबैंड के लिए घेरे के रेडियस ω_c में सी प्लेन (या z-घेरे में परिवर्तित वृत्त) पर रखे गए हैं।
चेबिसhev प्रकार I
पासबैंड में समान झनझनाहट, स्टॉपबैंड में एकाकार। दिए गए क्रम N और झनझनाहट स्तर के लिए, बटरवोर्थ से तेज कटौती प्राप्त करता है। ध्रुवों को एक अंडाकार (s-खंड) में रखा जाता है।
चेबिसhev प्रकार II
स्टॉपबैंड में समान झनझनाहट, पासबैंड में एकाकार। प्रकार I का प्रतिबिम्बीय अणु क्षेत्र में।
एलिप्टिक (कॉजर)
दोनों पासबैंड और स्टॉपबैंड में समान झनझनाहट। दिए गए क्रम N और झनझनाहट स्तरों के लिए, पासबैंड से स्टॉपबैंड में सबसे तेज संभव परिवर्तन प्राप्त करता है। एलिप्टिक कार्यों का उपयोग पोल और जीरो को अनुकूल रूप से रखने के लिए किया जाता है। हैमिंग: इस व्युत्पन्न में एलिप्टिक कार्यों का उपयोग किया जाता है।
द स्कूल ऑफ थॉट
चार परिवारों को समान मौलिक व्यापार मिलता है: उच्च क्रम N देता है तेज परिवर्तन। चेबिसhev, एलिप्टिक को स्वीकार्य झनझनाहट देते हुए तेज परिवर्तन के लिए समान N प्राप्त करते हैं। एलिप्टिक किसी भी दिए गए N और झनझनाहट विनिर्देशों के लिए सबसे तेज संभव परिवर्तन प्राप्त करता है।
फिल्टर परिवारों का चयन
परिवारों के बीच चयन उस एप्लिकेशन के सहनशीलता पर निर्भर करता है।
विशेषज्ञ के दावे पर सवाल
हमिंग ने याद किया कि कुछ विशेषज्ञों ने दावा किया था कि सभी आईआइआर (वापसी) फिल्टर्स किसी विशेष गुण के साथ थे। उन्होंने खुद से पूछा कि क्या यह वास्तव में सच था - और एक खण्डन उदाहरण पाए।
उनका बिंदु: विशेषज्ञ अक्सर उन्हें स्कूल में सीखी गई बातों को ले जाते हैं जिन्हें उन्होंने कभी पुनर्मूल्यांकन नहीं किया था वर्तमान समस्याओं के संदर्भ में। यदि आप खुद से पूछें कि क्या आप जो बताया जा रहा है वह वास्तव में सच है, यह देखेंगे कि कितना है या बॉर्डर पर झूठ, यहां तक कि एक अच्छी तरह से विकसित क्षेत्र में।
खण्डन उदाहरण सामान्य रूप से डिज़ाइन नहीं किए जाने वाले फिल्टर का था, लेकिन यह दावा सुपरफिशियल प्रमाणित किया। एकल खण्डन उदाहरण एक विश्वव्यापी दावे को खारिज कर देता है।
प्रथा में आईआइआर डिज़ाइन
हमिंग ने ध्यान दिया कि उन्होंने संख्यात्मक साधारण दifferential equations के लिए स्थिर सुधार गणित विकसित करने के लिए अधिकांश आईआइआर फिल्टर थेरी को स्वतंत्र रूप से विकसित किया था।
सुधार गणित रूप: y_n = Σ a_k · y_{n−k} + Σ b_k · f(y_{n−k})
फीडबैक दोनों y शब्दों (#linear फीडबैक) और f(y) शब्दों के माध्यम से (nonlinear फीडबैक के माध्यम से differential equation) प्रकट होता है। आईआइआर फिल्टर्स की स्थिरता संख्यात्मक ODE integrators की सामान्य समस्या का विशेष मामला है।
फीडबैक को विभिन्न क्षेत्रों में जोड़ें,
डिजिटल फिल्टर्स, संख्यात्मक ODE सॉल्वर्स, नियंत्रण प्रणाली, जीवन चक्र, और अर्थव्यवस्था के मॉडल में समान गणितीय संरचना - फीडबैक, कोण, स्थिरता सीमा - प्रकट होती है।
प्रत्येक क्षेत्र में: एक फीडबैक लूप पिछले राज्यों से एक नया राज्य को कंप्यूट करता है। स्थिरता के लिए: फीडबैक को अपरिमित रूप से प्रवर्द्धन नहीं करना चाहिए।
Z-खंड में स्थिरता की सीमा कोण: ongoing से समय की धारा में लेप्लेस s-खंड में कल्पित अक्ष (संयुक्त समय), linear iterations के लिए spectral radius शर्त ρ(A) < 1, और nonlinear सिस्टम के लिए Lyapunov exponent शर्त λ < 0।