フィードバック構造
FIR (有限衝撃応答) フィルタは、現在および過去の入力のみの重み付け和を各出力サンプルとして計算します。フィードバックはありません。衝撃応答の期間は有限です。
IIR (無限衝撃応答) フィルタは、前の出力を計算に戻します:
y_n = Σ b_k · x_{n−k} − Σ a_k · y_{n−k}
再帰的項 −Σ a_k · y_{n−k} はフィードバックを作成します。入力に単一の衝撃があれば、フィードバックループ内で永久に反映されます (安定していれば、減衰する幾何学的です)。
フィードバックの利点は何ですか？
IIR フィルタは、FIR フィルタと同じストップバンド減衰を達成するために必要な50コefficientのFIRよりも多くのコefficientが不要で鋭い周波数選択性を実現できます。
代償: 安定性のリスク。H(z)のポールが安定性を決定します。すべてのポールは厳格に単位円内に位置しなければなりません。
ハミングのフィードバックシャワー物語
ハミングはフィードバック不安定性の例として、鮮やかな個人的な物語を使用しました。
彼は、疲れているときに自分自身を位置づけるのに役立つため、同じホテルの部屋に滞在しました。プランジャーはシャワーに大径の熱水パイプを設置しました。これは、ノブを調整して水温の変化を感じるまでの遅延を大きくしました。
毎朝、ハミングは次のパターンを繰り返しました: 水が冷すぎる → 熱を上げる → まだ冷たい → 熱をさらに上げる → ついには沸騰 → 出て跳ぶ → 下げる → 再び。
フィードバックパスの遅延のために、彼の訂正は常にオーバーシュートでした。彼は、遅延に適応することができませんでした、多くの繰り返しにもかかわらず。
工学の教訓: 不安定性は、フィードバックパスの過剰なゲインまたはフィードバックパスの遅延が原因です。両者は同じハンティング行動として表現されます。フィルタの観点から: ポールがまたは単位円の外側に位置すると、この振動的または増加する応答が生じます。
不安定性の特徴化
ハミングは、同じシャワー不安定性を2つの方法で分析できることに気付きました:
1. 彼の反応が過剰でした（フィードバック作用の過剰な増益）。
2. 彼の検出が遅延していた（浴槽に入る前に急いでいた）。
両方の説明は、フィードバックループの極が単位円外に移動する数学的な結果を生みます。
4つのクラシックファミリー
アナログフィルタ理論は4つのクラシックデザインファミリーアラウンドで開発され、それぞれが異なるトレードオフを表しています。これらのファミリーは、ビリニア変換またはインパルス不変性を通じて離散時間に変換されます。
バターワース（最大平坦）
通過帯域応答：|H(jω)|² = 1 / (1 + (ω/ω_c)^{2N})。モノトニックに減少。通過帯域や停止帯域の両方でリップルなし。極はω_cの радиусを持つ単位円上に位置するs平面（またはz平面の変換された円）に配置されます。与えられた順序Nで最も平坦な通過帯域が得られます。
チェビシェフ型I
通過帯域で等ripple、停止帯域では単調。与えられた順序Nと揺らぎレベルで、バタワースよりも切断が鮮明になる。極は楕円上に位置しています(s-平面)。
チェビシェフ型II
停止帯域で等ripple、通過帯域では単調。型Iの鏡像です。
楕円型(Cauer)
どちらも通過帯域と停止帯域で等ripple。与えられた順序Nと揺らぎレベルで、通過帯域から停止帯域への最も鮮明なトランジションを達成します。楕円関数を使用して極と零を最適に配置します。ハミング: その名前は、楕円関数が導出に使用されるためです。
基本的な取引の根本
すべての4つのファミリーは、同じ基本的な取引を達成します。順序Nが高いほど、トランジションが鮮明になります。揺らぎを許可する(チェビシェフ、楕円型)は、同じNでトランジションが鮮明になるようにします。楕円型は、どのNと揺らぎ仕様で絶対的に最も鮮明なトランジションを達成します。
フィルターファミリーの選択
選択は、アプリケーションが許容するものによって異なります。
専門家の主張に疑問を投げかける
Hammingは、ある専門家がIIR（再帰）フィルタが特定の特性を持っているという主張があると覚えていた。彼はその主張が本当に正しいか自分で疑い、それを検証するカウンター例を見つけた。
彼のポイントは、専門家は学校で吸収した主張を常に現在の問題の文脈で再検討することなく持っていることがあるということです。自分自身が言われていることが本当に真実かどうかを疑うと、驚くほど多くのものが偽りであることがある、あるいはよく発達した分野の境界に近いことがわかります。
そのカウンター例は通常設計するフィルタではありませんが、主張が表面的なものであることを証明しました。単一のカウンター例は、普遍的な主張を否定するのに十分です。
実践でのIIR設計
Hammingは、数値常微分方程式の正確な修正公式を導出する別の問題を解決する過程で、IIRフィルタ理論の大部分を独自に開発したと述べました。
修正公式の形：y_n = Σ a_k · y_{n−k} + Σ b_k · f(y_{n−k})
フィードバックは、yの項（線形フィードバック）とf(y)の項（微分方程式を通じた非線形フィードバック）に共に現れます。IIRフィルタの安定性は、より一般的な問題である数値ODE積分器の安定性の特別なケースです。
フィードバックの関連付け
同じ数学的構造 - フィードバック、極、安定境界 - がデジタルフィルタ、数値ODE解決策、制御システム、生物学的リズム、および経済モデルに現れます。
各ドメインでは：フィードバックループは、前の状態から新しい状態を計算します。安定性は、フィードバックが無限に増幅されることがないことを要求します。
Z平面の単位円周安定境界は、Laplace s平面の虚軸（連続時間）、線形反復のスペクトル半径条件ρ(A) < 1、および非線形システムのLyapunov指数条件λ < 0に相当します。