海森堡:从观测量开始
1925年,温纳·海森堡采取了一种革命性的方法论立场:他将使用只有可以直接测量的量来构建理论-谱线频率和强度。 他不会对无法观察到的电子轨道进行推测。
谱线成对出现:一个从能级m到能级n的过渡中发出的光子具有频率ν(m,n)。海森堡将这些频率表示为一个二维数组-一个矩阵。这些数组如何组合的方程 Turns out to be the rules of matrix multiplication。
结果: 矩阵力学。 物理观测量变成矩阵。 状态变成向量。 运动方程是一个矩阵方程。 氢原子能级作为 特征值 出现。
哈明的表述:海森堡的方法是一堂关于科学方法的课-如果一个概念无法被测量,也许它在理论中 shouldn't appear。
薛定谔:从波开始
厄温·薛定谔从一个完全不同的起点开始。路易·德布罗意提出,粒子具有关联的波长λ = h/p (动量p,普朗克常数h)。薛定谔问:如果电子是波,那么波动方程是什么?
他找到了 薛定谔方程 (时间独立形式):
Ĥψ = Eψ
其中Ĥ是哈密顿算子,ψ是波函数,E是能量。 满足这个方程的特定能量E的解ψ形成了站立波-电子 '轨道'。
能级量化-离散的谱线-从波函数的边界条件中产生。 只有波函数在所有地方都保持有限且连续的值才是物理的。 这些约束只允许特定的E值: 特征值。
数学统一
保罗·狄拉克（与冯·诺伊曼独立）证明了矩阵力学和波动力学都是同一个抽象数学结构的表示：Hilbert空间。
一个Hilbert空间H是内积空间，它还具有完备性（每个Cauchy序列都收敛）。量子态是H的单位向量。观测量是H到H的自伴线性映射——线性映射从H到H，它等于其自己的伴随映射。
特征值和特征态：如果观测量Â的特征态是|a⟩，特征值为a：
Â|a⟩ = a|a⟩
在特征态|a⟩上的观测量A测量总是返回值a的确定性。
超POSITION：一个一般状态|ψ⟩是特征态的线性组合（超POSITION）：
|ψ⟩ = Σᵢ cᵢ|aᵢ⟩
其中cᵢ是复数，满足Σᵢ |cᵢ|² = 1（归一化）。
Born规则
马克·博恩提出概率解释：当观测量A在状态|ψ⟩ = Σᵢ cᵢ|aᵢ⟩的系统上进行测量，获得特征值aᵢ的概率等于其幅度平方：
P(aᵢ) = |cᵢ|² = |⟨aᵢ|ψ⟩|²
在测量后，状态会坍缩为相应的特征态|aᵢ⟩。对A的后续测量将以确定性返回值为aᵢ，直到系统再次演化为止。
一个量子比特状态在计算基：|ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩，其中 |α|² + |β|² = 1。
汉明作为数学顾问
汉明描述了他在与物理学家合作时的角色：他会找到适合的数学函数类，然后将数学问题调整为他们认为有意义的内容。
> 我通常通过问问题的那个人来找到所需的函数类，然后使用他们认为有价值的事实——希望这样，我以后就能为他们带来一些重要的洞见。
这是一个故意的教育策略。汉明没有强加一个数学框架——他引发了物理学家的直觉，并将其形式化。目标：物理学家产生洞见，而不是汉明。
更深层的教训是：量子力学在哲学上令人不满意（波函数坍缩是什么意思？量子状态是什么？）但在计算上成功。行为真实原则：将公式视为真实存在——当它给出正确预测时，无论你能否解释它是什么意思，状态向量、算子和特征值就是世界的实际特征。
什么时候行为真实原则是合理的
采取'如同-if'原则并不是懒惰的表现。这是一种特定的认识论选择：在这种情况下，当它们分开时，优先考虑计算的可靠性，而不是元物理上的清晰度。
量子力学(QM)提供了最清晰的例子：布尔规则已经在异常精确的实验中得到验证。关于'为什么'布尔规则成立，或者'波函数坍缩'在物理上对应什么，仍然是一个真正的悬而未决的问题。哈明的处方：使用布尔规则，假设坍缩发生，建立技术，做出预测。