数量级
Hamming的互联成本表包含四个级别：同芯片内（0.00001），芯片之间（0.01），板卡之间（0.10），框架之间（1.00）。
在线性尺度上，这些值几乎无法在视觉上进行比较——同芯片内的成本在框架成本旁边是不可见的。使用对数尺度时，等步长表示等比率。
对数尺度
如果在级别k处的成本C满足 log₁₀(C) = a + bk，那么 C = 10^(a+bk) ——一个在对数尺度上绘制为直线的指数函数。
根据数据：log₁₀(0.00001) = -5，log₁₀(0.01) = -2，log₁₀(0.10) = -1，log₁₀(1.00) = 0。每级上升大约增加1-1.5个数量级。
计算斜率
将互联级别作为变量L：L=0（同芯片内），L=1（芯片），L=2（板卡），L=3（框架）。将成本映射到对数值：-5，-2，-1，0。
对 log₁₀（成本）与L进行最小二乘拟合，得到斜率：每个数量级增加的数量级。
SNR & 阈值决策
信噪比(SNR)衡量通信通道的质量:
SNR = 信号功率 / 噪声功率
以分贝表示: SNR_dB = 10 · log₁₀(SNR)
对于模拟通道,SNR通过n个中继阶段逐加性降低。如果每个阶段增加噪声功率N₀,则n个阶段后的总噪声为N_total = n · N₀。n个阶段后的SNR为S / (n · N₀)。
对于数字通道,每个中继重新生成信号到满功率S₀并将噪声重置为N₀。n个阶段后的SNR为S₀ / N₀ — 与n无关。
几何解释:模拟SNR随1/n下降(在n上的对数曲线)。数字SNR保持恒定 — 在SNR vs n图上的水平线。
阈值:在每个数字中继上,决策规则是:如果接收电压大于V_threshold,则输出1;否则输出0。一个中继上的错误概率:
P_error ≈ Q(V_threshold / σ_noise)
其中Q是标准正态分布的尾概率。对于SNR >> 1,P_error迅速指数下降。
计算SNR降级
一条光纤连接距离为1000公里。模拟设计:每10公里一个放大器,每个放大器增加相同的噪声N₀。数字设计:每10公里一个复原器,每个复原器将SNR重置为S₀/N₀ = 30 dB。
从指数增长到逻辑成长
新技术遵循一个模式：慢速的早期采用，快速加速，然后达到饱和。这形状的S轨迹出现在半导体、互联网采用、移动电话和每个主要的平台技术。
Logistic Equation
令 P(t) = 时间 t 时潜在采用者中已采用者的比例。逻辑模型：
dP/dt = r · P(t) · (1 − P(t))
解：P(t) = 1 / (1 + e^(−r(t − t₀)))
其中 r = 生长率，t₀ = 变形点（P = 0.5）。在 t = t₀：生长率是最大值。
几何特征：曲线通过 (t₀, 0.5)；关于该点对称；当 t → −∞ 时接近 0，当 t → +∞ 时接近 1；最大斜率 = r/4 在变形点。
S曲线解释了为什么早期数字采用看起来慢：在 P = 0.1 (10% 采纳)时，dP/dt = r · 0.1 · 0.9 = 0.09r。到达饱和约束 (1 − P) 会拉回增长。
变形 & 半寿命
从大约 1975 年到 1995 年，数字集成电路在消费电子中的采用遵循逻辑曲线，变形点约在 1985 年。
假设 P(1975) = 0.05 和 P(1985) = 0.50。使用 P(t) = 1 / (1 + e^(−r(t − t₀)))，其中 t₀ = 1985。