从时间域到复平面
Z-变换将一个序列 x_n 映射到一个复变量 z 的函数 X(z):
X(z) = Σ_{n=−∞}^{∞} x_n · z^{−n}
变量 z 参数化复平面。这个平面不同区域对应不同的滤波器的定性行为。
几何区域
| 区域 | |z| | 行为 |
|--------|-----|---------|
| 单位圆内 | < 1 | 稳定极点: 衰减响应 |
| 单位圆 | = 1 | 频率轴: z = e^{i2πf} |
| 单位圆外 | > 1 | 不稳定极点: 生长响应 |
单位圆在离散时间稳定性中起着与拉普拉斯稳定性中虚轴相同的作用。
与拉普拉斯变换的关系
对于连续时间系统,拉普拉斯变换使用变量 s。虚轴 s = iω 是频率响应所在的位置。稳定性:极点必须有 Re(s) < 0 (左半平面)。
双线性变换将 s 映射到 z: z = (1 + Ts/2) / (1 − Ts/2)。这个映射将左半平面映射到单位圆内 —— '左半平面稳定' 的几何翻译为 '单位圆内稳定'。
双线性变换作为共形映射
双线性变换 z = (1 + Ts/2) / (1 − Ts/2) 是一个 莫比乌斯变换 —— 复平面上的共形(角度保持)映射。
它的关键几何性质:
- 映射 s = iω (虚轴) 到 |z| = 1 (单位圆)
- 映射 Re(s) < 0 (左半平面) 到 |z| < 1 (单位圆内)
- 映射 Re(s) > 0 (右半平面) 到 |z| > 1 (单位圆外)
- 频率变形: 映射 ω → f 是非线性的 —— ω_analog = (2/T)·tan(πf_digital)
这种变形将高频向 Nyquist 点压缩。设计者通过在应用双线变换之前对模拟规范进行预变形来考虑这一点。
巴特沃斯极点：圆轨迹
巴特沃斯滤波器通过将模拟极点放在 s-平面中的 圆 上实现最大平坦通过带。
对于一个 N 阶巴特沃斯滤波器，极点位于：
s_k = ω_c · e^{iπ(2k+N−1)/(2N)} for k = 0, 1, …, N−1
这使得它们在 ω_c 半圆的左半部分等间距分布。 (右半平面的极点将是不稳定的；只有左半平面的极点保留。)
圆轨迹 → 最大平坦通过带的原因是什么？
巴特沃斯多项式 |B_N(jω)|² = 1 + (ω/ω_c)^{2N} 的所有极点都在 |s| = ω_c。等半径约束意味着所有极点在 ω = ω_c 处的幅度响应中都相等地贡献。最大平坦定理：在所有 N 阶多项式中，极点位于此圆上的巴特沃斯多项式在 ω = 0 处的导数最多。
余弦极点：椭圆轨迹
切比雪夫极点位于s平面上的椭圆上（不是圆形）。椭圆的长轴和短轴半径由涌动参数ε确定。切比雪夫多项式的等涌动特性产生了相等涌动的传输带和停止带。
椭圆极点：椭圆函数位置
椭圆（卡乌尔）滤波器极点也位于椭圆上——但极点和零点都对频率响应产生影响。零点位于虚轴上（有限衰减的停止带极点）。椭圆函数映射优化地分布了零点，以同时实现传输带和停止带的等涌动。
计算巴特沃斯极点位置
对于一个4th-order巴特沃斯滤波器，带通频率ω_c = 1（归一化），极点位于：
s_k = e^{iπ(2k+3)/8} for k = 0, 1, 2, 3
k=0：s₀ = e^{i3π/8}（位于左半平面）
k=1：s₁ = e^{i5π/8}（位于左半平面）
k=2：s₂ = e^{i7π/8}（位于左半平面）
k=3：s₃ = e^{i9π/8}（位于左半平面）
这四个极点位于单位圆上的等角间隔，所有极点的实部均为负（左半平面）。
极点到单位圆的距离
理论上，稳定性要求 |p| < 1。在实际应用中，还会出现两个额外的关注点。
稳定边界
IIR滤波器的稳定边界是指任何极点到单位圆的最小距离：min_k (1 − |p_k|)。
极点在 |p| = 0.99处是技术上稳定的，但只留下了1%的边界。有限精度算术（系数表示中的舍入和累积舍入误差的积累）可以实际上移动极点。如果系数量化从 0.99 移动到 1.001，过滤器将变得不稳定。
几何学后果
极点非常接近单位圆会产生非常尖锐的频率响应峰值——狭带共振器。但是，狭带共振器需要高精度：小的系数误差会使峰值频率发生显著变化。
几何上的权衡：峰值锐度∝1 / (1 − |p|)。当 |p| → 1 时，锐度 → ∞，但稳定边界 → 0 并且对系数误差的敏感性 → ∞。
二阶部分
高阶IIR滤波器实现为单个多项式时，数值敏感——对一个系数进行舍入可能会移动多个极点。标准解决方案：将其实现为二阶部分（双极点）串联，每个部分只有一个共轭极点对和一个共轭零点对。一个部分的错误无法扰乱其他部分的极点。