e^{i2πf}沿单位圆运动
一个复指数e^{iθ}位于复平面上的单位圆上。随着θ的增加，点逆时针旋转。
对于在整数时间n = 0, 1, 2, …采样的数字滤波器，特征函数e^{i2πfn}在每个采样时刻沿圆周运动一个角度2πf。
频率作为旋转速度：f表示每个采样发生满额volution的比例。
- f = 0：没有旋转；点保持在(1, 0)位置
- f = 1/4：每步旋转1/4圆
- f = 1/2：每步旋转1/2圆（纽奎斯特频率）
- f = 1：每步旋转满圆——与f = 0不可区分
这个最后一点包含了几何上的全部抖动故事。
为什么是单位圆
单位圆是所有|z| = 1的集合。计算Z-变换H(z)的结果在单位圆上——设置z = e^{i2πf}——给出频率响应H(f)。单位圆是离散时间稳定性和频率分析的交汇点。
角度与频率
每个频率f对应于一个角度θ = 2πf弧度/采样。所有不同的频率的范围跨越一个完整的革命：f ∈ [0, 1)或等价地θ ∈ [0, 2π)。
在纽奎斯特频率f = 1/2时，每个采样前进正好π弧度——半个革命。
抖音的几何图像
单位圆的周长为2π。一个完整的旋转对应于频率f = 1（每个样本一个完整周期）。在采样信号中的不同频率恰好占据一个旋转。
当f = 1/2 + δ时，发生什么？每个样本的旋转 = 2π(1/2 + δ) = π + 2πδ。经过k个样本后，角度 = k(π + 2πδ)。但角度π + 2πδ与角度-π + 2πδ几何上相同，后者对应于频率f = 1/2 - δ的旋转。
抖音是圆周上的模数算术。 高于纠缠频率的频率会回绕。圆圈对过去的方向没有记忆。
采样定理说：保持在半圆[0, π)内。确保信号永远不会达到另一半。反向抖音滤波器执行此边界。
计算抖音的几何方法
在采样率f_s下，频率f的别名出现在|f − round(f / f_s) · f_s|处——这是一个对f_s的最近整数的距离，表示为一个分数。
对于f_s = 1（归一化）：别名f = 1 − f，对于f ∈ (1/2, 1)。这是关于纠缠点f = 1/2的反射。
几何上：f & 1 − f在单位圆上处于镜像位置，同样距离π轴远。
幅度响应作为距离乘积
对于传递函数H(z)具有零点z_1, z_2, …和极点p_1, p_2, …：
|H(f)| = (∏ |e^{i2πf} − z_k|) / (∏ |e^{i2πf} − p_k|)
这是图形方法，直接从极零图读取频率响应。
规则：
- 在单位圆上的零点在该频率上产生完全消除。
- 在单位圆附近的极点在响应中产生峰值。
- 在单位圆附近（但不在它上面）的零点产生低峰，不是消除。
- 在单位圆内的极点使滤波器稳定。
Z平面几何表示了整个滤波器行为的可视化。工程师在计算系数之前绘制极零图。