Heisenberg: Gözlemlenebilirlerle Başlayın
1925'te Werner Heisenberg, metodolojik bir radikallik tutumu sergiledi: teoriyi sadece doğrudan ölçülebilir kalmalar - spektral çizgi frekansları ve yoğunlukları - kullanarak kuracaktı. Elektron yörüklere dair spekülasyon yapmayacaktı.
Spektral çizgiler çiftler halinde gelir: bir fotondan enerji seviyesi m'den n seviyesine geçişle emilen fotona sahip frekans ν(m,n) Heisenberg, bunları iki boyutlu bir dizi olarak temsil etti - bir matris. Bu dizelerin birbiriyle nasıl birleştiğini belirleyen denkleler matris çarpımı kuralları oldu.
Sonuç: matris mekaniği. Fiziksel gözlemlenebilirler matris olur. Durumlar vektör olur. Hareket denklemi bir matris denklemidir. Hidrojen atomunun enerji seviyeleri Hamiltonian matrisinin özdeğerleri olarak ortaya çıkar.
Hamming'in ifade ettiği: Heisenberg'in yaklaşımı, bilimsel metodun bir dersidir - eğer bir kavram ölçülmezse belki de teoride görünmemelidir.
Schrödinger: Dalgalarla Başlayın
Erwin Schrödinger tamamen farklı bir başlangıç noktasından geldi. Louis de Broglie partiküllerin bir dalganın ilişkisi olduğunu önerdi. λ = h/p (momentum p, Planck sabiti h). Schrödinger, eğer elektronlar dalgalar ise ne tür bir dalg denklemi olduğunu sordu.
O, Schrödinger denklemi (zaman bağımlı form) buldu:
Ĥψ = Eψ
burada Ĥ, Hamiltonian operatörü, ψ dalga fonksiyonu ve E enerji. Bu denklemi belirli enerji değerleri E üzerinde sağlayan ψ çözümleri - duran dalgalar - elektron 'orbitalleri' oluşturur.
Enerji seviyelerinin kuantallaşması - kesin spektral çizgilerin kısıtlamalarla ortaya çıkar - dalga fonksiyonunun sınır koşulları. Sadece sınırsız ve sürekli kalan dalga fonksiyonları fizikseldir. Bu kısıtlamalar sadece belirli E değerlerine izin verir: özdeğerler.
Matematiksel Birleştirmeden
Paul Dirac (ve bağımsız olarak von Neumann) matris mekaniğini ve dalga mekaniğini aynı soyut matematiksel yapıya temsil edenler olduğunu gösterdi: Hilbert uzayı.
Bir Hilbert uzayı H, iç çarpım uzayıdır ve aynı zamanda tam (her Cauchy dizgesi sınırlıdır). Kuantum durumları H'nin birim vektörleridir. Gözlemler, H üzerinde Hermityen operatörlerdir - H'den H'ye doğrusal haritalar, kendi mevkutbenlerinin kendi mevkutbenlerine eşitlerdir.
Eigen değerler ve eigen durumlar: eğer gözlemlenebilir Á'nın eigen durumu |a⟩ ile eigen değeri a:
Á|a⟩ = a|a⟩
Gözlemlenebilir Á'yi |a⟩ eigen durumundaki bir sistemde ölçmek, her zaman değeri 'a' ile kesinlikle geri döndürür.
Karışık durum: genel durum |ψ⟩, eigen durumlarının doğrusal bir kombinasyonudur (karışık):
|ψ⟩ = ∑₉ c₉|a₉
nerede c₉ kompleks amplitüdler ve ∑₉ |c₉|² = 1 (normalizasyon) şartını yerine getirir.
Born Kurallı
Max Born, olasılık yorumunu önerdi: Gözlemlenebilir Á'yi |ψ⟩ durumundaki bir sistemde ölçmek, |ψ⟩ = ∑₉ c₉|a₉ durumundaki eigen değeri a₉ elde etmek için olasılık, eigen değeri a₉'un amplitüdünün kare modülüyle eşittir:
P(aᵢ) = |cᵢ|² = |⟨aᵢ|ψ⟩|²
Ölçümün ardından, durum kollapse eder ve karşılık gelen eigen duruma |aᵢ⟩ dönüşür. A'nın sonraki ölçümleri aᵢ ile kesinlikte geri döner, sistem tekrar evolvesene kadar.
Bir qubit durumu hesaplamada temel: |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩, |α|² + |β|² = 1.
Hamming'in Matematik Danışmanı Olarak Hamming
Hamming, fizikçilerle çalışırken rolünü anlattı: matematiksel fonksiyonların sınıfını bulmak için fizikçiden soracaktı ve ardından matematiksel sorunu inançlarına uygun hale getirecekti.
> Çoğu zaman, kullanılacak fonksiyon sınıfını bulmak için sorun yaşayan kişiden sorarım ve ardından önemli bir kavrayış elde etmek umuduyla, onların düşündükleri gerçekleri kullanırlar.
Bu, amaçsal bir stratejidir. Hamming, matematiksel bir çerçeve koymadı — fizikçinin sezgilerini ortaya çıkardı ve onları formalize etti. Hedef: fizikçi kavrayış üretmeli, değil Hamming.
Daha derine giden ders: kuantum mekaniği felsefi olarak tatmin edici değildir (dalga işlevi nasıl düşüyor? kuantum durumu gerçekten ne demek?) ancak hesaplamada başarılı. Act-as-if ilkesi: durum vektörleri, operatörler ve eigen değerleri gibi formalizmi gerçek özellikler olarak kabul edin - doğru tahminler verdiği zaman - ne anlama geldiğini açıklamaya çalışamayacağınız.
Act-As-If'in Dayanaklı Olduğu Zamanlar
Et-as-if prensibi, zihnî tembellik değil. Belirli bir epistematik tercih: Bilgisayarların güvenilirliğini, metafiziksel açıdan şeffaflığı tercih edin, ikisi ayrıldığında.
QM en açık örnektir: Born kuralı, olağanüstü doğrulukta deneysel olarak doğrulanmıştır. Born kuralının neden doğru olduğunu veya 'dalga işlev çöküşü'ün fiziksel olarak ne anlama geldiğini, gerçekten belirsiz kalmıştır. Hamming'in reçetesı: Born kuralını kullanın, et-as-if olarak çöküş gerçekleştiğinde hareket edin, teknolojiyi geliştir, tahminleri yapın.