Formel Sistem olarak Yönlendirilmiş Grafiğin Formal Sistemi
Bir formal aksiyomatik sistem, bir yönlendirilmiş grafiği tanımlar:
- Dokunaklar: Sistemin sembollerinden constructible tüm iyi şekilli formüller
- Kenarlar: İfade adımı - bir kurala göre bir formül bir diğerinden takip edilir
- Aksiyomlar: Kaynağa sahip özel nokalar - giren kenarları olmayan
- Teoremler: Aksiyom setinden erişilebilir tüm noktalar
Bir teorem T için kanıt: Aksiyom setinden T'ye kadar olan yönlendirilmiş bir yol. Kanıt, her adım bir kurala göre takip edilir ve bir dizi nokta A₁, A₂, ..., Aₙ = T'dir.
Bir formal sistemde iki temel özelliğin geometrik olarak ifade edildiği:
Konsistans: F formülünün ve negasyonunun F'nin aksiyomlardan ulaşabilir olduğu bir formül olmaması. Geometrik olarak: teorem noktası F ve teorem noktası ¬F her ikisi de ulaşılabilir değil. 'Patlama' yolu yoktur.
Tamamlanmışlık: Herhangi bir F formülünün veya ¬F'nin teorem (ulaşılabilir) olması. Geometrik olarak: grafiğin güçlü bir şekilde bağlantılı olduğu anlamına gelir; her vertex F için en az birinin axioms'den bir yol olması.
Gödel'in Tamamlanmazlık Özelliklerini Topolojik Bir Özelliğe Dönüştürmek
Kurt Gödel, 1931'de, temel aritmetiği ifade edebilecek herhangi bir tutarlı formal sistem için tamamlanmamışlık olduğunu kanıtladı: G gibi formüller vardır ki ne G ne de ¬G kanıtlanabilir.
Geometrik olarak: herhangi bir zengin tutarlı formal sistemde, axioms'den ulaşabilir olmayan noktalar vardır - ne G ne de ¬G'nın bir yolu axioms'den var.
Gödel'in yapısı: bir formül G'yi kodladı ve aslında 'Kanıtlanamazım' dedi. Eğer G kanıtlanabilseydi, sistem tutarsız olurdu (doğru bir ifadeyi kanıtlanamaz olduğunu söyler). Eğer ¬G kanıtlanabilseydi, sistem tutarsız olurdu (G yanlış ama sistemi kanıtlar). Bu nedenle ne G ne de ¬G kanıtlanabilir - G, tutarlı bir sistemin ulaşılabilir olmayan bir noktasıdır.
Tamamlanmamışlık, seçilen aksiyomların bir kusamı değil: Gödel, bu tamamlanmamışlığın, herhangi bir tutarlı ve aritmetiği işleyebilecek sistemde yapısal bir özelliğidir. Ulaşılamayan düğüm noktaları, yeni aksiyomlar eklemeye rağmen, silinememektedir.
Matematiksel Nesneleri Bir Alanın Noktları Olarak Görüntüleme
Platonik matematik görüşü, geometrik olarak formalize edilebilir: matematiksel nesnlar, aralarındaki ilişkilerle verilen bir abstraction alanında yaşar ve bu alanın noktaları kendilerini oluşturur.
Doğal sayıları ℕ = {0, 1, 2, 3, ...} düşünün. Bölme ilişkisi, m | n olan m'nin n'i böldüğü kısmi bir sıralama tanımlar. Bu kısmi sıralama, bölme lamine'nin geometrisini tanımlar.
Her asal sayı, 1'in üzerinde en düşük pozisyonda durur. Her karmaşık sayı, temel faktörlerinin üzerinde durur. Bu alanın yapısı, tüm sayı teorisini içerir.
Bu Platonik olan: yapı, herhangi bir zihnin incelemesi olmadan varolur. 7'nin asal olduğu gerçek — 7'nin 1'den 7'ye kadar herhangi bir bölümü olmaması — bölme lamine'sindeki 7'nin konumuna dair bir gerçektir ve bu, sembolizasyon, kültür veya uygarlıkten bağımsızdır.
Her medenîleşme toplumu, sayılama ve bölenlilik araştırmalarına aynı yapıyı keşfedecektir. Sayı sisteminin geometrisi evrenseldir.
Bölen Lâbidarını İzin Ver
Bölen lâbidarında, iki sayının en küçük ortak katının (lcm) onların birleşimi (en düşük üst sınır) ve en büyük ortak bölenin (gcd) onların kesişimi (en büyük alt sınır) ile karşılık gelir.
En büyük ortak bölen (gcd) Euclidean algoritmasıyla hesaplanabilir: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b), b 0 olana kadar devam eder.
Soyutlama Neyi Silir
Geometrik soyutlama: yüksek boyutlu bir nesneyi daha düşük boyutlu bir alt uzay üzerine projeler. Proje, alt uzaysı dışındaki koordinatları kaybeder, ancak alt uzayın yapısını mükemmel bir şekilde korur.
Matematiksel soyutlama da aynı şekilde çalışır. Bir grup, dört axiom yerine getiren bir set ile bir işlem içeren bir yapıdır. Grup yapısına soyutlayarak, özel elemanları, özel işlem hesaplamayı, ek yapıları (sıralama, metrik, topoloji) silinir. Kalan: dört axiomli iskelet.
Ödül: gruplar hakkında her teorem, aynı anda tüm gruplar için geçerlidir - toplamlar altında tam sayılar, kompozisyon altında dönerler, kompozisyon altında permutasyonlar, molekülün simetrisi, polinom denklemlerinin Galois grupları - aynı anda. Soyut teorem bir kez kanıtlanır; uygulamaları bedava.
Bu yüzden, saf matematikçiler domain-specific varsayımları eklemekte direnmaktadır: her eklenen varsayım teoremin uygulanabilirliğini kısıtlar. Alan eklemesi olan tersi olan alan teoremi, tersi olmayan alana ihtiyaç duymayan halkalar teoremi için daha az yapıya uygulanan yapılar uygulanır.
Dikkatli-Genellik Ticareti
Bir denge var: daha soyut teoremler daha geniş olarak uygulanır ancak belirli örnekler hakkında daha az şey söyler. Alan üzerinde tanımlanmış vektör uzayı teoremi, ℝ^n için ℝ^n için daha az söyler (nokta ve açının tanımlanması).
Hamming'in ima kuralı: mümkün olduğunca soyutlayın ve ihtiyacınız olan özelliklerinizi koruyun. Çok soyutlarsanız, teoremleriniz boş yere genel olur ('her setin herhangi bir işlemle herhangi bir işlemle uyumlu olduğu'). Az soyutlarsanız, teoremleriniz yeni uygulamalara geçiş yapamaz.