un

guest
1 / ?
back to lessons

e^{i2πf} Birim Daireyi Çiziyor

Bir karmaşık eksponential e^{iθ} karmaşık düzlemin birim daireinde bulunur. θ arttıkça nokta saat yönünde döner.

Dijital bir filtreyi tam zamanlarda örnekleyen e^{i2πfn} fonksiyonu, her örneklemde konumunu 2πf around dairede adım atar.

Frekans dönmeye oran olarak ölçülür: f, her örneklemde tam devrimin ne kadarını gerçekleştirdiğini gösterir.

- f = 0: no rotation; point stays at (1, 0)

- f = 1/4: quarter rotation each step

- f = 1/2: half rotation each step (Nyquist frequency)

- f = 1: full rotation each step — indistinguishable from f = 0

Son nokta, geometrik olarak, aliasing hikayesinin tamamını içerir.

Frekans Açı: Birim Daire & Aliasing

Neden Birim Daire

Birim daire, {z : |z| = 1} setidir. Z-çevrimi H(z) nin birim daire üzerinde değerlendirilmesi - z = e^{i2πf} olarak ayarlanması - frekans yanıtını H(f) verir. Dijital zaman istabilitesi ve frekans analizi, sürekli sınırda buluşur.

Açılar ve Frekanslar

Her frekans f, her örneklemde θ = 2πf radyan adım atar. Tam farklı frekanslar, tam devrimi kapsar: f ∈ [0, 1) veya eşdeğeri θ ∈ [0, 2π).

Nyquist frekansı f = 1/2 'de, her örneklemde tamamiyle π radyan - yarım devrim - ilerler.

Birim daire üzerinde, frekans f = 1/6, 2π/6 = π/3 radyan açıya karşılık gelir. Bir filtre transfer fonksiyonunda sıfır konumunda z = e^{i2π/3} (yani f = 1/3) 'te bulunur (yani f = 1/3). Girişte f = 1/3 frekansı içeren bir filtrenin çıkışına ne olduğunu geometrik olarak açıklayın. Birim daire üzerinde sıfır konumunda olmasının, tam olarak iptal oluşturduğu nedenini açıklayın?

Yanlışlamaların Geometrik Resmi

Birim döngü 2π'dir. Tam bir devre, frekans f = 1 (her örnek için tam bir döngü) ile karşılık gelir. Örneklenen sinyalin farklı frekansları, tam bir devre işgal eder.

f = 1/2 + δ ne zaman? rotation per sample = 2π(1/2 + δ) = π + 2πδ. k örnekten sonra açıklama = k(π + 2πδ). Ama π + 2πδ, geometrik olarak -π + 2πδ'ya eşittir, bu da f = 1/2 - δ frekansı için rotationu gösterir.

Yanlışlama, daire üzerinde modüler aritmetiktir. Nyquist frekansı üzerindeki sinyaller döner. Daire, nereden geldiklerini unutmaz.

Örneklem teoremi: [0, π) yarı-dairede kalın. Sinyalin asla diğer yarıya ulaşmadan örnekle. Geri dönen sinyali örneklemeden önce anti-aliasing filtreler uygular.

Geometrik Yöntemle Yanlışlamalar Hesaplama

Örneklem hızı f_s altında örnekleme frekansı f'nin, aliasının f_s'nin en yakın tam katına olan mesafesi olarak ifade edilir - |f - round(f / f_s) · f_s|.

f_s = 1 (normalleştirilmiş): alias f = 1 - f için f ∈ (1/2, 1). Bu, Nyquist noktası f = 1/2 üzerinde yansımadır.

Geometrik olarak: f ve f'nin aliasları, π eksenine eşit mesafede, birbirinin yansıması olan birim dairede yer alırlar.

1000 Hz'de örneklenen bir sinyalde 700 Hz tonu vardır. Nyquist frekansı 500 Hz'dir. Geometrik yansıma argumenti - yanlışlamaların Nyquist noktasında (birim daire üzerinde) yansıması - kullanarak alias frekansını hesaplayın. Sonra, 1000 Hz örneklem süresi temsil eden bir birim daire üzerinde 700 Hz ve aliasının pozisyonlarını çiziminiz.

Büyüklük Cevabı Uzaklık Ürünü Olarak

Bir transfer fonksiyonu H(z) sıfırlar z_1, z_2, ... ve pololar p_1, p_2, ... ile:

|H(f)| = (∏ |e^{i2πf} - z_k|) / (∏ |e^{i2πf} - p_k|)

Bu, grafiksel yöntem için sıklıkla frekans tepkisini doğrudan polo-sıfır diyagramından okumanızdır.

Kurallar:

- Bir sıfır birim karesinde o frekans üzerinde tam bir sıfır oluşturur.

- Bir polo birim karesinin yakınında tepkide bir zirve oluşturur.

- Bir sıfır birim karesinin yakınında (ama üzerinde değil) tepkide bir çukur oluşturur.

- Pololar birleşik kare içinde filtreyi istikrarlı tutar.

Z-plane geometrisi, filtre davranışını görsel olarak tamamen gösterir. Mühendisler katsayıları hesaplamadan önce polo-sıfır diyagramları çizerler.

İkincil düzenli bir filtre, iki sıfırını z = ±j'ye (bu, birimler karesinde f = 1/4 ve f = 3/4'te) ve bir polesunu z = 0.7'ye (gerçek eksen üzerinde, birleşik kare içinde) taşır. Hesaplamalı herhangi bir katsayı olmadan: frekans tepkisinin şeklini anlatın. Hangi frekanslar geçer? Hangileri sıfırlanır? Tepkide nerede zirve yapar? Her iddiayı geometrik olarak açıklayın.