Dois Condições, Dois Coeficientes
Um filtro com k+1 coeficientes livres pode atender exatamente a k+1 condições em sua função de transferência. Hamming demonstrou isso com o caso mais simples não trivial: dois coeficientes, duas condições.
As Condições
- Em f = 1/6: H(1/6) = 1 (esta frequência passa inalterada)
- Em f = 1/3: H(1/3) = 0 (esta frequência é parada completamente)
A Forma do Filtro
Um filtro usando dois coeficientes a e b com entrada x_n e um atraso:
y_n = a · x_n + b · x_{n−1}
Substituindo a Função Eigen
Entrada e^{i2πfn}, saída H(f) · e^{i2πfn}. O lado direito fornece:
H(f) · e^{i2πfn} = a · e^{i2πfn} + b · e^{i2πf(n−1)}
Divida por e^{i2πfn}:
H(f) = a + b · e^{−i2πf}
Agora aplique as duas condições para obter duas equações em duas incógnitas.
Resolvendo pelos Coeficientes
Substituindo f = 1/6 em H(f) = a + b·e^{−i2πf}:
1 = a + b·e^{−i2π/6} = a + b·(cos(−π/3) + i·sin(−π/3)) = a + b·(1/2 − i√3/2)
Substituindo f = 1/3:
0 = a + b·e^{−i2π/3} = a + b·(−1/2 − i√3/2)
Destas duas equações, Hamming resolveu obter a = 1/2, b = 1/2 — o mesmo que uma média de 3 amostras (com a saída na posição central).
O Filtro Completo
O filtro que satisfaz ambas as condições tem a forma:
y_n = (x_{n−1} + x_n + x_{n+1}) / 2
Saída na posição n usa as amostras de entrada anteriores, atuais e próximas.
Função de transferência:
H(f) = (e^{i2πf} + 1 + e^{−i2πf}) / 2 = (2cos(2πf) + 1) / 2 = cos(2πf) + 1/2
Verificação:
- H(1/6) = cos(π/3) + 1/2 = 1/2 + 1/2 = 1 ✓
- H(1/3) = cos(2π/3) + 1/2 = −1/2 + 1/2 = 0 ✓
Em outras frequências: H(0) = 1 + 1/2 = 3/2 (transmite DC com ganho), H(1/2) = −1 + 1/2 = −1/2.
Insight: um filtro digital implementa em software o que um filtro RC analógico implementa em hardware. A escolha dos coeficientes controla a resposta em frequência analiticamente.
Função de Transferência em Diversas Frequências
A função de transferência H(f) = cos(2πf) + 1/2 se aplica em todas as frequências, não apenas nos dois pontos de projeto.
Descoberta de Gibbs
Hamming contou a história de Michelson — de fama Michelson-Morley — que construiu uma máquina analógica para calcular séries de Fourier até 75 termos. Quando ele reconstruiu uma função descontínua a partir de seus coeficientes, a máquina mostrou um overshoot persistente perto do salto.
Michelson perguntou a matemáticos locais. Eles acusaram o equipamento. Somente Gibbs ouviu.
O fenômeno de Gibbs: quando uma série de Fourier truncada em N termos aproxima uma discontinuidade de passo, a aproximação overshoot por aproximadamente 8.9% da altura do salto - e esse overshoot NÃO diminui à medida que N aumenta. Mais termos estreitam o pico de overshoot, mas nunca o eliminam.
Matematicamente: a série de Fourier de N termos converge ponto por ponto em todos os lugares, exceto na discontinuidade. Na discontinuidade, os somamentos parciais convergem para o meio do salto, mas o máximo do somatório parcial perto do salto se aproxima de 1.0895 (para um salto de altura unitária), não 1.0.
Por que isso importa para Filtros
Um filtro ideal de baixa frequência tem uma função de transferência em etapas: H(f) = 1 para f < f_c, H(f) = 0 para f > f_c. Essa discontinuidade entre a faixa de passagem e a faixa de parada significa que qualquer filtro de comprimento limitado (série de Fourier truncada) exibe ondulações de Gibbs em sua resposta em frequência.
A consequência: a design de séries de Fourier truncadas sozinho produz filtros com aproximadamente 9% de ondulação em ambas as faixas de passagem e parada, independentemente de quantos coeficientes forem usados.
Implicações do Fenômeno de Gibbs
Hamming usou esse resultado para motivar funções de janela: multiplicando os coeficientes de Fourier ideais por uma janela suavemente decrescente reduz dramaticamente o overshoot de Gibbs.
A janela de Hamming: w_k = 0.54 + 0.46·cos(πk/N). Essa janela reduz as ondulações de Gibbs a menos de 0.2%.
A troca: a janelamento suaviza a transição, mas amplia a faixa de transição. Corte mais agudo sempre exige mais coeficientes.