A Interface como uma Transformação Geométrica
A lei de Snell n₁ sen θ₁ = n₂ sen θ₂ descreve como uma rajada muda de direção em uma fronteira. Geometricamente, ela mapeia um ângulo de entrada θ₁ para um ângulo transmitido θ₂ via uma função monótona.
Defina f: [0°, 90°] → [0°, 90°] por f(θ₁) = arcsin ((n₁/n₂) sen θ₁). Quando n₁ > n₂ (luz saindo de um meio denso para um meio menos denso), a f amplia os ângulos: pequenos ângulos de entrada se tornam maiores ângulos de saída.
O ângulo crítico surge como o valor de entrada onde f(θ_c) = 90°:
sen θ_c = n₂/n₁
Para ângulos de entrada além de θ_c, a função não tem saída real: a rajada transmitida desaparece. A intensidade total é refletida. Isso é reflexão interna total.
Ângulo Numérico: o Cone de Aceitação
A luz entra em um fio do ar (n₀ = 1,0). Não todos os raios que entram na face do fio serão guiados pela reflexão interna total na fronteira núcleo-blindagem. Somente raios dentro de um certo cone de ângulos na entrada do fio serão guiados.
O ângulo numérico (NA) mede a metade do ângulo desse cone de aceitação:
NA = n₀ sen (θ_max) = √(n₁² - n₂²)
onde n₁ é o índice do núcleo e n₂ é o índice da blindagem. Isso segue da aplicação da lei de Snell na face de entrada do fio e então exigindo que a rajada refratada atinja a fronteira núcleo-blindagem exatamente no ângulo crítico.
Um maior NA significa um cone de aceitação mais amplo: mais fácil de acoplar a luz, mas mais modos permitidos, aumentando a dispersão.
A Decaimento Exponencial Fora do Coer
A reflexão total interna não significa que o campo eletromagnético desapareça instantaneamente na fronteira entre o núcleo e a camada de isolamento. O campo penetra na camada de isolamento como uma onda evanescente que decresce exponencialmente com a distância z do interface:
E(z) = E₀ · e^(−z/d_p)
onde a profundidade de penetração d_p depende da comprimento de onda λ, o ângulo de incidência θ e os índices de refracção:
d_p = λ / (4π √(n₁² sin²θ − n₂²))
Quando θ se aproxima de θ_c a partir de cima, o denominador se aproxima de zero e d_p → ∞: o campo evanescente se estende mais longe quanto mais o ângulo mal ultrapassa o ângulo crítico. Profundamente na reflexão total interna (θ >> θ_c), d_p diminui para cerca de λ/4.
Consequência prática: dois fios colocados próximos o suficiente podem trocar luz através de seus campos evanescentes - um acoplador direcional. Isso permite a divisão de potência, multiplexação de comprimentos de onda e comutação óptica sem conexões mecânicas.
Acoplamento Evanescente
Um acoplador evanescente coloca dois núcleos de fio paralelos a apenas algumas ondas um do outro. A luz passa de um núcleo para outro através dos campos evanescentes sobrepuestos.
O V-Número e Contagem de Modo
Quantos modos um fio suporta? Um único número adimensional, o V-número (ou frequência normalizada), determina isso:
V = (π · d · NA) / λ
onde d é o diâmetro do núcleo, NA é o ângulo numérico e λ é o comprimento de onda.
Um fio suporta apenas um modo (único modo) quando V < 2.405 (o primeiro zero da função de Bessel J₀). Múltiplos modos aparecem quando V > 2.405. A contagem de modos escala aproximadamente como V²/2 para grandes V.
Para garantir o funcionamento de único modo em λ = 1550 nm com NA = 0.12:
V < 2.405 → d < (2.405 · λ) / (π · NA) = (2.405 × 1550 nm) / (π × 0.12) ≈ 9.9 µm
Isso é por que o fio de fibra óptica de único modo usado em telecomunicações utiliza um diâmetro de núcleo de ≈ 8-10 µm: uma restrição geométrica definida pelo requisito de V < 2.405.