パラダイム地形
科学的分野をモデル化する: 損失地形 L(p) over パラダイム空間 P, ここで L(p) = 理論 p に従って説明されていない証拠の量。理論がすべてを説明できる場合、L = 0 (完全)。理論が多くのものを説明しない場合、Lが高くなる。
現在の理論は局所最小値に位置している: それがほとんどの知られた証拠を説明しているため、小さな偏差は L を増加させる。このため、パラダイムは安定している - 勾配降下は常にそれに戻る。
専門知識は現在の最小値の勾配を深める: 数十年の労力で詳細を埋め込む、パラダイムの範囲を拡張し、異常を説明することで、局所最小値の壁が尖る。現在のパラダイムの勾配周辺はより急になる。
これにより、専門家のパラドックスが生まれる: 専門知識が深いほど、現在の最小値から脱出するのが難しくなる。誰もが偉大な専門家である理由 - 現在のパラダイムの深い知識 - これが新しい可能性のあるより深い最小値に達する可能性を減らす。
パラダイムシフト = 局所最小値からの脱出: 新しい理論は、空間の別の場所にある場合、より深い最小値 (より良い説明) である可能性がある。ただし、それに達するためには、しばらくの間、不明瞭な証拠を増加させることで高地に移動する必要がある - クーンの語義での '危機' である期間。
勾配降下と専門家の投資
パラダイム p が L(p) の局所最小値に位置している場合、新しい異常観察が現在のパラダイムが説明できない不明瞭な観察 E を生み出し、L(p) を若干増加させる。
パラダイム空間の吸引盆地
L(p)の局所的な最小値には、吸引盆地があります。それは勾配降下がその最小値に導くパラダイム空間の領域です。
パラダイムpの専門家は、pの盆地内で何年も働いています。彼らは局所的なトポロジーを特異な詳細さで知っています。彼らは盆地を効率的にナビゲートできます - これが彼らの専門知識です。
アウトサイダーは、パラダイム空間の異なるポイントに到着します。彼らは、pの盆地全体を外部から始めるかもしれない - あるいは異なるパラダイムの盆地にいるか、鞍点上、または微小勾配のある平坦な領域にいるかもしれません。彼らはpに向かって強い勾配がないのです。
このは外部者利点の幾何学的説明です：彼らは現在の最小値に勾配降下されていない。彼らのパラダイム空間の開始位置は制約が少ないです。
ランドスケープの専門家の2つの失敗モードです：
- 偽阴性（拒否有効な新アイデア）：新しいアイデアは異なる局所的な最小値に相当します。専門家は、自分の盆地に深く、新しい最小値への方向を上昇（Lを増加）として認識し、拒否します。
- 偽陽性（推奨無効なアイデア）：新しいアイデアは小さな異常を修正し、現在の盆地内で下り坂に移動します。専門家の勾配感覚は「はい、これはLを減少させる」と言っていますが、それはより浅い局所的な最小値に移動している可能性がありますが、より深いものではありません。
クーンのサイクルは勾配動力学
クーンのトーマスは次のサイクルを記述しました：通常の科学（現在の盆地での勾配降下）→ 異常の蓄積（Lがp*で上昇）→ 危機 → パラダイムシフト（新しい盆地へのジャンプ）→ 新しい通常の科学。
不可能性は実用的な領域の境界です
数学や工学の不可能な証明は、あるパラメータ空間での実用的な領域として幾何学的にモデル化できます。
例：33フィートの水上持ち上げ結果。パラメータはh = 両立ち高さです。吸引ポンプの機構は制約を定義します：h ≤ P_atm/ρg ≈ 10.3 m。 この制約は実用的な領域F = {h : h ≤ 10.3 m}を定義します。 不可能な証明は次のように述べています：吸引ポンプがこの機構で動作する場合、実用的な領域にはh > 10.3 mが含まれません。
立方波ポンプは異なるパラメータ空間で動作します。吸引を使用せず、動的圧力を使用します。実用性制約は異なり、実用的な領域は大きくなります。
不可能な証明の隠れた仮定は、問題が吸引機構のパラメータ空間で解決されるというものです。 この仮定が失敗する場合 — 解決策が異なる機構を使用する場合 — その仮定が違うパラメータ空間で働くため異なる実用的な領域です。
幾何的には：不可能の証明は、h > 10.3 m が吸引ポンプの実用範囲外にあることを示しています。ただし、立ち上がり波装置の実用範囲内でのhについては何も言われません。
隠れた制約を特定せよ
考慮してください：「チャネル帯域幅以上の情報伝達率はできない」という主張。この主張はシャノンの仕事以前広く信じられていました。