三角形メッシュ

すべての3Dモデルは三角形で作られています

動画ゲームのキャラクターを見たり、アニメーション映画の建物を見たりするたびに、目の前には数千：あるいは百万を超える小さな三角形がメッシュとして組み合わさっています。

なぜ三角形なのか？それは基本的な幾何学的特性から来て：空間の3つの点は常に一つの平面を定めます。三つの点は常に共面です：平らな表面を形成します。4つ以上の点は同じ平面に位置する可能性がありません。これは、四角形の面が歪みまたは歪む可能性があることを意味し、レンダリングアーティファクトが発生する可能性があります。

ゲームの球体は、八面体のROUGHなもの (8つの三角形)、より円形のもの (32の三角形)、目に見えて滑らかなもの (128の三角形) として近似されています。三角形の数が多いほど表面が滑らかになりますが、グラフィックスカードがする仕事も増えます。この三角形カウントの取引は、リアルタイム3Dグラフィックスの中心的な問題の1つです。

行列変換

数学でオブジェクトを移動する

3Dシーンのすべてのオブジェクトは、位置、回転、スケールで設定されなければなりません。次に、すべての3D世界が2Dスクリーンに投影されなければなりません。これらはすべて、行列変換で行われます：座標を行列に乗じる。

移動: オブジェクトを移動：各頂点位置にオフセットを追加します。

回転: オブジェクトを回転：各頂点を回転行列 (正弦と余弦) で乗じます。

スケール: オブジェクトをリサイズ：各座標をスケール因子で乗じます。

投影: 3Dを2Dに平面化：遠いオブジェクトが小さく見えるようにする視点変換。

現代のビデオゲームは、60フレーム毎秒でこれらの行列積分を毎フレーム計算しています。これだけの並列幾何に対処するために、CPUは遅すぎたため、GPU（グラフィックス・プロセッシング・ユニット）が存在します。GPUは、基本的に大規模な並列行列積分エンジンです。

なぜ三角形？

これは、コンピュータグラフィックスにおいてすべての分野で最も基本的な設計決定の1つです。

データは空間上のポイント

機械学習は幾何学的空間で動作しています

! [サポートベクタマシン：最も広いマージンを見つける](/static/diagrams/geometry_vector_space.svg)

機械学習モデルがデータと働くすべてのものは、基本的に幾何学をしています。各データポイントは、特徴量（変数）で説明されるN次元空間のポイントです。Nはデータを説明する特徴量の数です。

家の面積、寝室の数、市中心部までの距離で説明される場合、3次元空間のポイントです。10,000個のピクセル値で説明される医療画像は、10,000次元の空間のポイントです。どの数の次元でも、同じ数学が働きます。

分類は、クラスを分ける幾何学的な境界を検出します。サポートベクタマシン（SVM）は、最も広いマージンで2つのクラスを分けるハイパープレーンを実際に検出します：クラス間の最も広い『通り』です。最も近いデータポイントは、境界の近くに位置し、境界の位置を決定する唯一のポイントは、サポートベクタと呼ばれています。

ワードエンビエディングとベクタ演算

ワードは空間上のポイント

機械学習における幾何学の最も印象的な適用例の1つは、ワードエンビエディングです。Word2Vecや現代の言語モデルは、通常300から1,000次元の高次元空間に、各ワードをポイントとしてマップします。

似た意味の単語は幾何学的に近くに終わる。'Dog' は 'puppy' や 'canine' に近い。'France' は 'Germany' や 'Spain' に近い。

さらに驚くべきことに：この空間の 方向 は関係性をコード化しています。有名な例は:

vector('king') - vector('man') + vector('woman') ≈ vector('queen')

これは純粋なベクトル幾何学です。'man' から 'king' への方向は、'woman' から 'queen' への方向とほぼ同じです：両方が王族の概念をコード化しています。機械学習モデルはテキストを読んで、誰もが王族の意味を教えなかった状態でこの幾何学的構造を発見しました。

ハイパーラインとマージン

サポートベクターマシンは、機械学習の幾何学の明確な例です。

グレートサークルとGPS

球の表面上の最短経路は直線ではありません

平面上では、2点間の最短経路は直線です。球上では、最短経路は 球の中心が球の中心である円周上の曲線 です：すなわち、グレートサークル弧です。

これが、ニューヨークから東京へ飛ぶ際に、北に大きなカーブを描くようにアρκティック経路を飛ぶ理由です。平面のマーカー図では、この経路は奇妙にカーブしているように表示されます。が、図は歪んでおり、極を四角形に詰めるために拡大されています。実際の球状の地球上では、アρκティック経路は短くなります。

各経度線は大円です。赤道は大円です。が、緯度線（赤道を除く）は大円ではありません：それらは小さな円であり、飛行中にそれらを通過することは最短の経路ではありません。

GPS三角測量は球面幾何を異なる方法で使用します。各GPS衛星は自身の位置情報と時刻をブロードキャストします。受信機は各衛星までの距離を計算します（光速を使用）。一つの衛星はあなたの位置ができるだけ小さな球体を作成します。二つの衛星はそれらの交差する円を作成します。三つの衛星はあなたの位置が二つありますが、一つは通常は奇妙（宇宙の深くにある）ですので、あなたの位置情報を取得します。四つの衛星は時刻の誤差を修正します。

フライトがマップ上でカーブする理由

航空会社やパイロットは燃料を無駄にするためにカーブした経路を飛行しません。彼らは可能な限り最短の経路を飛行します。

幾何学的寸法付けと許容範囲

GD&T：どれくらいの不一致が許容範囲内にあるか

製造された部品は幾何学的に完璧ではありません。25.000 mm指定されたシャフトはラザーの上で25.007 mmまたは24.993 mmになります。問題は、どれくらいの偏差が許容範囲内にあるかです。

幾何学的寸法付けと許容範囲（GD&T）は幾何学的正確性でこの問題に答えます。単に'25 mmに±0.013 mmの範囲内'と言うのではなく、実際の表面のすべてのポイントが含まれる幾何学的範囲を定義します。

許容範囲の形状は、機能的に重要なものに従って、シリンダー（シャフトの場合）、平行な平面のペア（平面表面の場合）、またはコーン（傾いた特徴の場合）です。

これは純粋な応用幾何学です。機械工作の専門家がGD&T図を読む際には、幾何学的制約を解釈しています：この表面は、完全な平面からの偏差が0.01mm以内にありますか？この穴の軸は、基準面に対してどの程度正確に垂直ですか？あらゆる許容誤差は幾何学的問題です。

ストレス集中と幾何学

なぜ幾何学が物が折れる場所を決定するのか

力は幾何学的なパスを通じて物質を流れます。滑らかな、均一な断面は、ひずみが均等に分散します。しかし、幾何学的な不連続性：穴、切り欠き、鋭い角：ひずみがその点で集中します。

ストレス集中係数は、幾何学に依存します。張力下の板に存在する小さな円形穴は、辺で標準的なひずみの3倍を経験します。鋭いV notchは、角度によってストレスを5倍、10倍、またはさらに集中させます。

これが、航空機の窓が楕円形ではなく四角形である理由です。デ・ハビランド・コモート：世界初の商用ジェット旅客機：四角形の窓を持っていました。1954年、2機のコモートが飛行中に解体しました。調査で、アルミニウムが何度も圧力 цикルを耐えられないレベルまで集中したひずみの始まりが、窓の鋭い角のところで発見されました。

解決策は幾何学的でした：コーナーを丸くします。楕円形の窓は、辺の周りでひずみが滑らかに均等に分散され、鋭い集中点がなくます。コモートの災害で56人が亡くなりました。幾何学が人々を殺しました。幾何学が解決策を提供しました。

コモート災害

デ・ハビランド・コモートの災害は、航空機設計を永遠に変えました。

繰り返しを繋ぐ

世界の共通言語

これまでに何を扱ってきたかを見てください:

建築学は、ビデオゲームの3Dメッシュを剛性化する同じ剛性三角形を使用します。

コンピュータグラフィックスは、ロボットが機械的アームを位置付けるために使用する同じ行列変換を使用します。

機械学習は、工学最適化のデザイン空間を分離する同じハイパープレーンを使用します。

航法は、建築家がドームや惑星館を設計するために使用する同じ球面幾何を使用します。

工学は、生物力学が骨折を理解するために使用する同じ応力解析を使用します。

幾何学は同じです。アプリケーションは異なります。三角形は橋を支えるか竜をレンダリングするかにかかわらず剛性があります。ハイパープレーンはスパムを分類するかエアロフォイル形状を最適化するかにかかわらずクラスを分離します。

これが幾何学が応用数学で最も強力なツールの一つである理由です: 它は科学と工学のすべての分野での問題に対する視覚的、空間的、そして厳密な方法で推論する方法を提供します。

あなたのまとめ

幾何学は建築学、コンピュータグラフィックス、マシンラーニング、航法、および工学で検討されました。