Matematika Platonik
Hamming mengadakan survei terhadap lima sekolah utama tentang apa yang dimaksud dengan matematika. Tidak ada yang terbukti memuaskan sepenuhnya.
Sekolah tertua: Platonisme. Plato berargumen bahwa dunia ide — termasuk objek matematika — lebih nyata dibandingkan dunia fisik. Objek fisik adalah instansasi yang tidak sempurna, sementara wujud yang sempurna dan tidak berubah ada di dunia ide.
Diterapkan pada matematika: bilangan 7 bukanlah angka yang tertulis di halaman, bukan tujuh kuda, bukan tujuh kursi. Bilangan abstrak 7 ada di ruang ide yang murni. Ini tidak memiliki instansiasi fisik. Anda belum pernah melihat, mendengar, menyentuh, atau mencium bilangan 7 itu sendiri — hanya bayangannya di dunia fisik.
Pengamatan kunci Hamming: terlepas dari notasi, 7 adalah bilangan prima. Dalam angka Romawi (VII), dalam biner (111), dalam heksadesimal (7) — keprimaan ini tidak tergantung pada representasinya. Nota-independensi ini adalah bukti yang disorot oleh Platonis sebagai bukti adanya keberadaan objek matematika yang independen.
Formalisme: Matematika sebagai Manipulasi Simbol
Sekolah Formalis, yang terkait dengan David Hilbert, mengambil posisi yang berlawanan. Matematika adalah permainan formal: pilihlah sebuah sistem axiom dan aturan inferensi, kemudian turunkan teorema dengan secara mekanis mengaplikasikan aturan. Simbol tidak memiliki arti di luar sistem formal.
Dalam pandangan ini, matematika adalah karya manusia, bukan penemuan. Sistem axiom yang berbeda menghasilkan matematika yang berbeda. Geometri Euklides dan geometri non-Euklides keduanya valid — mereka berasal dari axiom yang berbeda.
Posisi Hamming: dia bertindak seperti Platonis saat melakukan matematika (dia merasa dia menemukan kebenaran yang sudah ada sebelumnya) tapi curiga Formalis benar tentang dasarnya (tidak ada ruang abadi, hanya permainan formal yang kita pilih untuk mainkan).
Tes praktis Hamming untuk hasil matematika: terlepas dari sekolah yang benar, suatu teorema yang terbukti dalam sistem formal yang konsisten adalah andal. Debat filosofis tidak mempengaruhi nilai rekayasa dari hasil tersebut.
Matematika dan Dunia Fisik
Pada tahun 1960, fisikawan Eugene Wigner menerbitkan esai berjudul 'The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences' (Kesahihan yang tidak wajar dari Matematika dalam Ilmu Pengetahuan Alam). Tesis: matematika yang dikembangkan oleh matematikawan murni untuk alasan abstrak tetap mencolok akurasinya dalam menggambarkan kenyataan fisik.
Contoh yang disebutkan Hamming:
- Persamaan Maxwell: dihasilkan dari keindahan matematis yang halus & simetri, mereka memprediksi gelombang elektromagnetik - dan khususnya, kecepatan cahaya - sebelum verifikasi eksperimen.
- Geometri Riemann: dikembangkan oleh Bernhard Riemann pada tahun 1850-an sebagai matematika murni, tanpa aplikasi fisika di pikiran. Einstein menggunakan itu 60 tahun kemudian sebagai kerangka matematis untuk relativitas umum.
- Mekanika kuantum: didasarkan pada ruang Hilbert, aljabar operator, dan teori grup - semua dikembangkan secara independen oleh matematikawan untuk alasan abstrak.
Mengapa matematika yang dikembangkan di dalam pikiran, untuk alasan estetika yang murni, menggambarkan kenyataan fisik dengan akurasi yang sangat tepat? Tidak ada jawaban yang memuaskan sepenuhnya bagi Platonis maupun Formalis.
Evaluasi Puzzle Wigner
Pengamatan Wigner memang mengejutkan, tetapi dapat diragukan. Bukan semua matematika yang berkembang menjadi berguna — hanya matematika yang akhirnya mendeskripsikan sesuatu yang selamat dalam sejarah fisika. Mungkin efek seleksi yang bekerja.
Lebih Abstrak = Lebih Banyak Aplikasi yang Luas
Hamming membuat klaim yang tidak intuisif: alat matematis yang lebih abstrak, semakin luas aplikasinya.
Matematika konkrit: rumus untuk luas balok khusus. Aplikasi untuk satu bentuk.
Matematika abstrak: aljabar linear atas lapangan. Aplikasi pada mekanika kuantum, grafik komputer, ekonomi, kompresi data, analisis rangkaian, statistik — semua domain di mana vektor dan transformasi linear muncul.
Mengapa? Abstraksi menghilangkan konten khusus domain, meninggalkan hanya struktur. Dua sistem dengan struktur yang sama mengikuti teorema yang sama, meskipun satu melibatkan medan listrik dan yang lain melibatkan distribusi probabilitas.
Matematika universal: Hamming mencatat bahwa setiap peradaban yang mampu berkomunikasi antar bintang harus telah mengembangkan matematika yang sama. Alasan: matematika mendapatkan teoremanya dari aksioma melalui logika, dan logika tampaknya universal. Angka 7 adalah prima dalam setiap notasi karena keprimaan adalah properti struktural, bukan satu yang notasi.
Nilai Abstraksi
Sejarah matematika mengandung banyak contoh struktur abstrak yang dikembangkan tanpa aplikasi yang diinginkan yang kemudian menjadi alat esensial dalam fisika atau teknik.