un

guest
1 / ?
back to lessons

Dua Syarat, Dua Koefisien

Sebuah filter dengan k+1 koefisien bebas dapat memenuhi persis k+1 syarat pada transfer function-nya. Hamming menunjukkan hal ini dengan kasus paling sederhana yang tidak trivial: dua koefisien, dua syarat.

Syarat-Syarat

- Pada f = 1/6: H(1/6) = 1 (frekuensi ini melewati tanpa perubahan)

- Pada f = 1/3: H(1/3) = 0 (frekuensi ini sepenuhnya dihentikan)

Bentuk Filter

Sebuah filter menggunakan dua koefisien a dan b dengan input x_n dan satu penundaan:

y_n = a · x_n + b · x_{n−1}

Menggantikan Eigenfunction

Masukan e^{i2πfn}, output H(f) · e^{i2πfn}. Sisi kanan memberikan:

H(f) · e^{i2πfn} = a · e^{i2πfn} + b · e^{i2πf(n−1)}

Bagi dengan e^{i2πfn}:

H(f) = a + b · e^{−i2πf}

Sekarang aplikasikan dua syarat untuk mendapatkan dua persamaan dalam dua variabel.

Filter Rata-Rata 3 Sampel: Transfer Function

Mencari Koefisien-Koefisien

Menggantikan f = 1/6 ke H(f) = a + b·e^{−i2πf}:

1 = a + b·e^{−i2π/6} = a + b·(cos(−π/3) + i·sin(−π/3)) = a + b·(1/2 − i√3/2)

Menggantikan f = 1/3:

0 = a + b·e^{−i2π/3} = a + b·(−1/2 − i√3/2)

Dari dua persamaan ini, Hamming memecahkan untuk mendapatkan a = 1/2, b = 1/2 — yang sama dengan rata-rata 3 sampel (dengan output di posisi tengah).

Hamming menetapkan dua persamaan dari H(1/6) = 1 dan H(1/3) = 0 dengan bentuk filter H(f) = a + b·e^{−i2πf}. Solusi memberikan a = 1/2, b = 1/2. Verifikasi ini: substitusi a = b = 1/2 kembali ke H(f) = a + b·e^{−i2πf} dan evaluasi pada f = 1/3. Tunjukkan bahwa Anda mendapatkan H(1/3) = 0. Gunakan formula Euler: e^{iθ} = cos θ + i sin θ.

Filter yang Lengkap

Filter yang memenuhi kedua kondisi memiliki bentuk:

y_n = (x_{n−1} + x_n + x_{n+1}) / 2

Output pada posisi n menggunakan sampel input sebelumnya, saat ini, & berikutnya.

Fungsi transformasi:

H(f) = (e^{i2πf} + 1 + e^{−i2πf}) / 2 = (2cos(2πf) + 1) / 2 = cos(2πf) + 1/2

Pengecekan:

- H(1/6) = cos(π/3) + 1/2 = 1/2 + 1/2 = 1 ✓

- H(1/3) = cos(2π/3) + 1/2 = −1/2 + 1/2 = 0 ✓

Pada frekuensi lain: H(0) = 1 + 1/2 = 3/2 (melewati DC dengan gain), H(1/2) = −1 + 1/2 = −1/2.

Insight: filter digital menerapkan di software apa yang filter RC analog terapkan di hardware. Pilihan koefisien mengendalikan respons frekuensi analitik.

Fungsi Transformasi pada Frekuensi Berbagai Macam

Fungsi transformasi H(f) = cos(2πf) + 1/2 berlaku pada setiap frekuensi, bukan hanya dua titik desain.

Menggunakan H(f) = cos(2πf) + 1/2, hitung H(f) pada f = 0, f = 1/4, dan f = 1/2. Kemudian deskripsikan karakter umum dari filter ini: apakah itu filter lowpass, highpass, bandpass, atau bandstop? Bukti dari tiga perhitungan Anda mendukung klasifikasi ini?

Penemuan Gibbs

Hamming menceritakan kisah Michelson — Michelson-Morley yang terkenal — yang membangun mesin analog untuk menghitung seri Fourier hingga 75 istilah. Ketika ia memulihkan fungsi diskontinuous dari koefisien-koefisiennya, mesin menunjukkan overshoot yang persisten dekat dengan lonjakan.

Michelson bertanya kepada matematikawan lokal. Mereka menyalahkan peralatan. Hanya Gibbs yang mendengarkan.

Phenomena Gibbs: ketika seri Fourier di- truncate menjadi N istilah mendekati kesenjangan langkah, pendekatan meng overshoot sekitar 8.9% dari ketinggian lonjakan — dan overshoot ini TIDAK menurun saat N bertambah. Banyak istilah mengecilkan puncak overshoot tetapi tidak pernah menghapusnya.

Dalam matematika: seri Fourier N-istilah konvergen di semua titik kecuali di kesenjangan. Di kesenjangan, jumlah parsial konvergen ke titik tengah lonjakan, tetapi maksimum dari jumlah parsial dekat dengan lonjakan mendekati 1.0895 (untuk langkah unit), bukan 1.0.

Mengapa Ini Penting untuk Filter

Filter ideal lowpass memiliki fungsi transfer langkah: H(f) = 1 untuk f < f_c, H(f) = 0 untuk f > f_c. Kesenjangan tersebut antara passband & stopband berarti filter berapa pun panjangnya (seri Fourier di- truncate) menunjukkan ripple Gibbs dalam respons frekuensinya.

Akibatnya: desain seri Fourier yang di- truncate sendiri menghasilkan filter dengan ripple kira-kira 9% di kedua passband & stopband, terlepas dari berapa banyak koefisien yang digunakan.

! [Phenomena Gibbs & Fungsi Jendela](/static/diagrams/hamming_ch16_gibbs.svg)

Implikasi dari Phenomena Gibbs

Hamming menggunakan hasil ini untuk memotivasi fungsi jendela: mengalikan koefisien Fourier ideal dengan jendela yang menurun secara halus mengurangi overshoot Gibbs secara drastis.

Jendela Hamming: w_k = 0.54 + 0.46·cos(πk/N). Ini mengurangi ripple Gibbs kurang dari 0.2%.

Balik: jendela menghaluskan transisi tetapi memperlebar transition band. Potongan tajuk selalu membutuhkan lebih banyak koefisien.

Seorang perancang filter menghitung koefisien Fourier ideal untuk filter lowpass sharp cutoff dan kemudian meng- truncate menjadi N = 50 istilah. Ia kemudian meningkatkan N menjadi 500 istilah. Deskripsikan apa yang terjadi terhadap: (a) lebar dari transition band; (b) ketinggian overshoot Gibbs dalam passband. Jelaskan secara spesifik apa yang berubah dan apa yang tidak.