Aproximasi Garis Tegak
Ide Geometri
Persamaan diferensial biasa dy/dx = f(x,y) menetapkan kemiringan ke setiap titik di ruang (x,y) — bidang arah. Solusi sebenarnya y(x) adalah kurva yang diikuti kemiringan yang diberikan di setiap titik.
Metode Euler mengubah bidang arah kontinu menjadi langkah diskrit:
> (xₙ, yₙ) → (xₙ + h, yₙ + h·f(xₙ, yₙ))
Dari titik (xₙ, yₙ), gerakkan jarak h sepanjang garis tegak. Sampai pada titik yang hampir berikutnya. Ulangi.
Error geometri: garis tegak pada (xₙ, yₙ) memiliki kemiringan f(xₙ, yₙ), tetapi kurva sebenarnya memiliki kemiringan yang berbeda di setiap titik di interval [xₙ, xₙ + h]. Langkah Euler menggunakan kemiringan di ujung kiri sepanjang — 'kemiringan yang pernah ada.' Error per langkah tumbuh seiring h².
Error Akumulasi
Selama N langkah untuk mencapai titik akhir tetap x = a, dengan h = a/N:
- Error lokal per langkah: O(h²)
- Jumlah langkah: N = a/h
- Error global: O(h²) × (a/h) = O(h) — akurasi pertama
Metode Euler adalah pertama: mengurangi h mengurangi error global setengah.
Jalankan Metode Euler
Sertakan dy/dx = y, dengan kondisi awal y(0) = 1. Solusi sebenarnya: y(x) = eˣ, jadi y(1) = e ≈ 2.71828.
Terapkan metode Euler dengan h = 0.5, dari x = 0 hingga x = 1 (2 langkah):
Langkah 1: y₁ = y₀ + h·f(x₀, y₀) = 1 + 0.5·(1) = 1.5. Titik baru: (0.5, 1.5).
Langkah 2: y₂ = y₁ + h·f(x₁, y₁) = 1.5 + 0.5·(1.5) = 2.25. Titik baru: (1.0, 2.25).
Euler memberikan 2.25 vs nilai sebenarnya 2.71828. Error: 0.468. Error relatif: ~17%.
Menghitung Wilayah Stabilitas Euler
Untuk persamaan uji dy/dx = λy (di mana λ adalah bilangan kompleks), metode Euler memberikan:
> yₙ₊₁ = yₙ + h·λ·yₙ = yₙ·(1 + hλ)
Faktor amplifikasi per langkah: z = 1 + hλ.
Syarat stabilitas: solusi yang dihitung tetap terbatas jika dan hanya jika |z| ≤ 1, yaitu |1 + hλ| ≤ 1.
Ini adalah kondisi geometris di ruang kompleks hλ: titik hλ harus berada di dalam lingkaran dengan jari-jari 1 yang berpusat di (-1, 0).
Wilayah stabilitas Euler: { hλ ∈ ℂ : |1 + hλ| ≤ 1 }
Untuk λ nyata negatif (seperti ODE menurun seperti dy/dx = -2y): hλ harus berada di interval (-2, 0] pada sumbu real. Dengan λ = -2 dan h = 0.5: hλ = -1. Ini tepat di batas stabilitas — metode tersebut stabil marginally, yang menjelaskan kegagalan kualitatif pada contoh sebelumnya.
Dengan h = 1 dan λ = -2: hλ = -2, memasukkan kita di luar wilayah stabilitas. Solusi bergoyang dengan amplitudo yang tumbuh.
Mencari Batas Wilayah Stabilitas
Metode Runge-Kutta 4 (RK4) memiliki wilayah stabilitas yang lebih besar daripada Euler, yang merupakan alasan utama mengapa metode tersebut lebih disukai untuk kebanyakan masalah.
Untuk λ nyata negatif, RK4 memungkinkan hλ turun hingga sekitar -2.785 pada sumbu real (vs batas Euler -2).
Untuk persamaan kaku dengan nilai eigen λ yang berbeda tingkatannya — misalnya λ₁ = -1 dan λ₂ = -1000 — stabilitas memerlukan hλ₂ untuk tetap berada di wilayah. Untuk RK4 pada sumbu real: h·(-1000) ≥ -2.785, jadi h ≤ 0.002785.
Langkah ukuran yang sangat kecil ini, yang ditentukan oleh nilai eigen kaku λ₂, membuat simulasi menjadi mahal meskipun komponen lambat λ₁ dapat menggunakan h = 2.
Titik Tetap & Danau Atraksi
Metode Euler yang diterapkan pada dy/dx = f(y) mengdefinisikan peta diskrit: yₙ₊₁ = g(yₙ) = yₙ + h·f(yₙ).
Sebuah titik tetap dari peta ini: y sedemikian sehingga g(y) = y. Untuk Euler pada dy/dx = f(y), titik tetap memenuhi f(y) = 0 - kesetimbangan ODE.
Stabilitas titik tetap: jika |g'(y)| < 1, iterasi dekat konvergen ke y. Jika |g'(y*)| > 1, mereka berbelok.
g'(y) = 1 + h·f'(y). Di titik tetap y: |1 + h·f'(y)| < 1 untuk stabil.
Ini adalah persis kondisi kestabilan Euler dengan λ = f'(y*) - linearisasi ODE di kesetimbangan.
Danau Atraksi: himpunan kondisi awal yang konvergen ke y* di bawah peta Euler. Untuk sistem nonlinier, batas danau menggambarkan di mana simulasi akan melacak andal kesetimbangan ODE vs berbelok ke atraktor lain.
Loop simulasi adalah sistem dinamis diskrit. perilaku kualitatif - konvergensi, osilasi, divergensi - tergantung pada ukuran langkah h relatif terhadap geometri bidang arah ODE.
Menghubungkan Geometri ke Desain Simulasi
Geometri simulasi numerik diringkas menjadi tiga pertanyaan:
1. Di mana lokasi region kestabilan? Untuk Euler: lingkaran |1 + hλ| ≤ 1. Lebih besar untuk RK4. Tanpa batas (setengah bidang kiri) untuk metode implisit.
2. Di mana letak eigenvalue ODE? Eigenvalue λ dari Jacobian f di setiap titik menentukan region kestabilan yang harus mengandung hλ.
3. Apa h yang memastikan semua hλ berada di dalam region? Nilai h maksimum = (jari-jari region kestabilan) / max|λ|.
Untuk sistem kaku: max|λ| sangat besar, memaksa h kecil untuk metode eksplisit. Metode implisit mahal per langkah tetapi memungkinkan h besar — mereka menukar biaya per langkah untuk kestabilan.
Insight Hamming diterjemahkan: pilihan metode numerik mencantumkan taruhan tentang spektrum eigenvalue ODE. Menjadikan taruhan itu eksplisit adalah keputusan desain pertama dalam setiap simulasi.