Magnitudo Tingkat
Tabel biaya interkoneksi Hamming mencakup empat tingkat: on-chip ($0.00001), chip-to-chip ($0.01), board-to-board ($0.10), frame-to-frame ($1.00).
Pada skala linear, nilai-nilai ini hampir mustahil untuk dibandingkan visual — biaya on-chip tidak terlihat berdekatan dengan biaya frame. Pada skala logaritmik, langkah-langkah yang sama mewakili rasio yang sama.
Skala Logaritmik
Jika biaya C pada tingkat k memenuhi log₁₀(C) = a + bk, maka C = 10^(a+bk) — sebuah eksponen dalam k, yang memplot sebagai garis lurus pada skala log.
Dari data: log₁₀(0.00001) = −5, log₁₀(0.01) = −2, log₁₀(0.10) = −1, log₁₀(1.00) = 0. Setiap level naik sekitar 1-1,5 orde magnitudo.
Menghitung Kemiringan
Treat interconnection level as a variable L: L=0 (on-chip), L=1 (chip), L=2 (board), L=3 (frame). Map costs to log₁₀ values: −5, −2, −1, 0.
A least-squares fit of log₁₀(cost) on L gives the slope: how many orders of magnitude per level.
SNR & Keputusan Ambang Batas
Rasio sinyal-to-bias (SNR) mengukur kualitas saluran komunikasi:
SNR = daya sinyal / daya bias
Dalam desibel: SNR_dB = 10 · log10(SNR)
Pada saluran analog, SNR menurun secara aditif melalui n tahap relay. Jika setiap tahap menambahkan daya bias N0, total bias setelah n tahap: N_total = n · N0. SNR setelah n tahap: S / (n · N0).
Pada saluran digital, setiap relay menghasilkan kembali sinyal ke daya penuh S0 dan mengatur ulang bias ke N0. SNR setelah n tahap: S0 / N0 — independen dari n.
Interpretasi geometris: SNR analog menurun sebanding 1/n (penurunan hiperbolik terhadap n). SNR digital tetap konstan — garis horizontal dalam plot SNR vs n.
Ambang batas: pada setiap relay digital, aturan keputusan adalah: jika tegangan terima > V_threshold, keluarkan 1; jika tidak, keluarkan 0. Probabilitas kesalahan pada satu relay:
P_error ≈ Q(V_threshold / σ_noise)
di mana Q adalah probabilitas ekor dari normal standar. Untuk SNR >> 1, P_error mendekati nol eksponensial.
Menghitung Degradasi SNR
Saluran fiber optik menjangkau 1000 km. Desain analog: satu pengatur daya setiap 10 km, masing-masing menambahkan bias yang sama N0. Desain digital: satu regenerasi setiap 10 km, masing-masing mengatur ulang SNR ke S0/N0 = 30 dB.
Dari Ekponensial ke Logistik
Teknologi baru mengikuti pola: adopsi awal perlahan, percepatan cepat, kemudian saturasi. Trajektori S-bentuk ini terjadi pada semikonduktor, pengadopsian internet, telepon genggam, & setiap teknologi platform utama.
Persamaan Logistik
Biarkan P(t) = fraksi pengguna potensial yang telah mengadopsi pada waktu t. Model logistik:
dP/dt = r · P(t) · (1 − P(t))
Solusi: P(t) = 1 / (1 + e^(−r(t − t₀)))
di mana r = laju pertumbuhan, t₀ = titik infleksi (P = 0.5). Pada t = t₀: laju pertumbuhan maksimum.
Fitur geometris: kurva melewati (t₀, 0.5); simetri terhadap titik tersebut; mendekati 0 saat t → −∞ dan 1 saat t → +∞; kemiringan maksimum = r/4 pada infleksi.
Kurva S menjelaskan mengapa adopsi digital awal terlihat perlahan: pada P = 0.1 (10% adopsi), dP/dt = r · 0.1 · 0.9 = 0.09r. Pada P = 0.5 (titik infleksi), dP/dt = 0.25r. Pertumbuhan dipercepat hingga menabrak batasan saturasi (1 − P) yang menarik kembali.
Infleksi & Setengah Hidup
Penggunaan IC digital dalam perangkat elektronik konsumen mengikuti kurva logistik dari sekitar 1975 hingga 1995, dengan titik infleksi sekitar 1985.
Misalnya P(1975) = 0.05 dan P(1985) = 0.50. Menggunakan P(t) = 1 / (1 + e^(−r(t − t₀))) dengan t₀ = 1985.