Fungsi sebagai Vektor
Serier Fourier bukan hanya alat perhitungan — itu adalah operasi geometri: proyeksi ortogonal dari fungsi ke basis.
Ruang Fungsi
Set dari fungsi yang integrabel persegi pada [0,1] membentuk ruang vektor L²[0,1]. Penjumlahan & perkalian skalar bekerja titik per titik. Produk dalam dua fungsi f, g:
⟨f, g⟩ = ∫₀¹ f(t) · g*(t) dt
di mana g* adalah konjugat kompleks dari g. Ini memenuhi semua axiom produk dalam.
Ortogonalitas Basis Fourier
Fungsi φ_k(t) = e^{i2πkt} membentuk basis orthonormal untuk L²[0,1]:
⟨φ_k, φ_m⟩ = ∫₀¹ e^{i2πkt} · e^{−i2πmt} dt = ∫₀¹ e^{i2π(k−m)t} dt = δ_{km}
(Ini sama dengan 1 jika k = m, 0 lainnya — dengan mengintegrasikan osilasi murni atas satu periode.)
Koefisien Fourier sebagai Produk Dalam
Koefisien k-keempat dari x(t):
c_k = ⟨x, φ_k⟩ = ∫₀¹ x(t) · e^{−i2πkt} dt
Ini adalah proyeksi x ke vektor basis φ_k. Koefisien ini mengukur seberapa banyak dari φ_k hadir dalam x.
Proyeksi ke Subruang
Memangkas serier Fourier menjadi 2N+1 istilah memproyeksikan x ke subruang yang dipetakan oleh {φ_{−N}, …, φ_N}. Serier yang dipangkas adalah proyeksi ortogonal dari x ke subruang ini yang dimensi terbatas.
Dengan ketentuan Bessel, proyeksi ini mengurangi kesalahan L²:
‖x − Σ_{k=−N}^{N} c_k φ_k‖² ≤ ‖x − Σ_{k=−N}^{N} a_k φ_k‖² untuk setiap pilihan a_k
Pemangkasan Fourier adalah approximasi terbaik dalam L² dari subruang tersebut. Ini mengurangi rata-rata kuadrat kesalahan (kuadrat norma L² dari perbedaan).
Jendela Persegi → Kernel Sinc
Jendela persegi di domain waktu (menahan hanya koefisien untuk |k| ≤ N) berkorespondensi dengan perkalian oleh fungsi rect di indeks koefisien.
Perkalian dalam satu domain berkorespondensi dengan konvolusi dalam domain lain.
Transformasi Fourier dari jendela persegi (dalam ruang koefisien terbatas) adalah kernel Dirichlet — sebuah fungsi sinc-periodik:
D_N(f) = Σ_{k=−N}^{N} e^{i2πfk} = sin(π(2N+1)f) / sin(πf)
Ketika kita memotong seri Fourier, kita mengkonvolasikan H_ideal(f) dengan D_N(f).
Mengapa Gibbs Terjadi
Kernel Dirichlet memiliki sisipan yang besar dan menurun perlahan. Di dekat ketidasan langkah dalam H_ideal(f), sisipan ini bergema — mereka menambah kohesif di satu sisi ketidasan, menghasilkan peningkatan sekitar 9%.
Konstanta matematis: ∫₀^π sin(t)/t dt = Si(π) ≈ 1.8519. Tinggi peningkatan Gibbs = (2/π)·Si(π) − 1 ≈ 0.0895 = 8.95%. Ini independen dari N.
Geometri Jendela
Jendela halus (Hamming, Hann, Kaiser) memiliki transformasi Fourier dengan sisipan yang lebih rendah. Mengkonvolasikan H_ideal(f) dengan kernel yang memiliki sisipan yang lebih kecil menghasilkan lebih sedikit bergema. Tukar: sisipan yang lebih rendah selalu datang dengan lobus utama yang lebih lebar, memperlebar jalur transisi.
Konstanta Gibbs
Gibbs overshoot adalah integral definit, bukan fungsi dari N.
Maksimum pertama dari jumlah Fourier parsial N-term dari langkah unit terjadi pada f ≈ 1/(2N) dari ketidakterterapan. Ketika N → ∞, maksimum ini mendekati 1/(2)·(2/π)·Si(π) ≈ 1.0895.
Overhang: 0.0895 atau sekitar 8.95% dari ketinggian langkah.
Jendela sebagai Kernel Frekuensi-Domain
Setiap fungsi jendela memiliki transformasi Fourier yang menggambarkan kernel yang digunakan untuk mengecilkan respons frekuensi ideal.
Kunci parameter geometrik kernel:
1. Lebar lobus utama: menentukan lebar jalur transisi (lobus utama yang lebih lebar → jalur transisi yang lebih lebar).
2. Tingkat puncak sisi luar: menentukan ripling passband & stopband (sisi luar yang lebih rendah → lebih sedikit ripling).
Kedua parameter ini tidak independen. Dengan panjang jendela 2N+1, mengurangi ketinggian sisi luar membutuhkan memperlebar lobus utama - selalu.
Jendela Kaiser memberikan pengguna satu keran (α) untuk menukar tinggi sisipan vs lebar lob utama secara terus menerus, daripada beralih antara jenis jendela tetap.
Kesimpulan Desain
Lebar transisi ΔF ≈ lebar lob utama / N. Tinggi gelombang δ ≈ tinggi sisipan. Kedua rumus ini adalah perkiraan; persamaan Kaiser membuatnya akurat.