un

guest
1 / ?
back to lessons

e^{i2πf} Mengikuti Lingkaran Satu

Eksponen kompleks e^{iθ} hidup di lingkaran satu dalam bidang kompleks. Saat θ meningkat, titik berputar searah jarum jam.

Untuk filter digital yang dianalisis pada waktu integer n = 0, 1, 2, …, fungsi eigen e^{i2πfn} mengambil langkah sudut 2πf sekitar lingkaran pada setiap sampel.

Frekuensi sebagai laju putar: f mengukur seberapa banyak revolusi penuh terjadi per sampel.

- f = 0: tidak ada putaran; titik tetap di (1, 0)

- f = 1/4: setengah putaran setiap langkah

- f = 1/2: setengah putaran setiap langkah (frekuensi Nyquist)

- f = 1: putaran penuh setiap langkah — tidak dapat dibedakan dari f = 0

Titik terakhir ini mengandung seluruh cerita aliasing secara geometris.

Frekuensi sebagai Sudut: Lingkaran Satu & Aliasing

Mengapa Lingkaran Satu

Lingkaran satu adalah {z : |z| = 1}. Mengevaluasi transformasi Z H(z) pada lingkaran satu — menetapkan z = e^{i2πf} — memberikan respons frekuensi H(f). Lingkaran satu adalah batas dimana kestabilan waktu diskrit & analisis frekuensi bertemu.

Sudut & Frekuensi

Setiap frekuensi f setara dengan sudut θ = 2πf radian per sampel. Jangkauan penuh dari frekuensi unik menutupi satu revolusi penuh: f ∈ [0, 1) atau secara ekivalen θ ∈ [0, 2π).

Pada frekuensi Nyquist f = 1/2, setiap sampel maju tepat π radian — setengah revolusi.

Pada lingkaran satu, frekuensi f = 1/6 setara dengan sudut 2π/6 = π/3 radian. Sebuah filter memiliki nol dalam fungsi transfernya di z = e^{i2π/3} (yaitu, pada f = 1/3). Jelaskan secara geometris apa yang terjadi pada output filter ketika input mengandung frekuensi f = 1/3. Mengapa menempatkan nol DI TEMPAT frekuensi tersebut pada lingkaran satu menghasilkan pengurangan penuh?

Gambar Geometri Aliasing

Lingkaran unit memiliki keliling 2π. Revolusi penuh menggambarkan frekuensi f = 1 (satu siklus penuh per sampel). Frekuensi unik dalam sinyal yang dianalisis mengisi tepat satu revolusi.

Apa yang terjadi pada f = 1/2 + δ? Rotasi per sampel = 2π(1/2 + δ) = π + 2πδ. Setelah k sampel, sudut = k(π + 2πδ). Tapi sudut π + 2πδ adalah identik geometris dengan −π + 2πδ, yang menggambarkan rotasi frekuensi f = 1/2 − δ.

Aliasing adalah aritmetika modular pada lingkaran. Frekuensi di atas frekuensi Nyquist melingkar. Lingkaran tidak memiliki ingatan dari arah mana mereka datang.

Teorema sampling mengatakan: tetap di setengah lingkaran [0, π). Sampel dengan cepat sehingga sinyal Anda tidak pernah mencapai setengah yang lain. Filter anti-aliasing memaksakan batas ini sebelum sinyal mencapai pengambil sampel.

Menghitung Alias Geometris

Alias dari frekuensi f di bawah pengambilan sampel f_s muncul pada |f − round(f / f_s) · f_s| - jarak terdekat ke multiple f_s, dinyatakan sebagai fraksi.

Untuk f_s = 1 (normalisasi): alias dari f = 1 − f untuk f ∈ (1/2, 1). Ini adalah refleksi dari f tentang titik Nyquist f = 1/2.

Geometris: f & 1 − f berada di posisi yang saling cermin di lingkaran unit, sama jauhnya dari sumbu π.

Sebuah sinyal yang dianalisis pada f_s = 1000 Hz mengandung suara 700 Hz. Frekuensi Nyquist adalah 500 Hz. Menggunakan argumen refleksi geometris - bahwa frekuensi alias menggambarkan refleksi tentang titik Nyquist pada lingkaran unit - hitung frekuensi alias. Kemudian gambar posisi 700 Hz dan aliasnya pada lingkaran unit yang melengkapi seluruh lingkaran yang mewakili periode sampel 1000 Hz.

Respon Magnitudo sebagai Produk Jarak

Untuk transfer fungsi H(z) dengan nol z_1, z_2, ... dan kutub p_1, p_2, ...:

|H(f)| = (∏ |e^{i2πf} - z_k|) / (∏ |e^{i2πf} - p_k|)

Ini adalah metode grafis untuk membaca respons frekuensi secara langsung dari plot nol-kutub.

Aturan:

- Nol PADA lingkaran unit menciptakan nol sempurna pada frekuensi tersebut.

- Kutub DEKAT lingkaran unit menciptakan puncak dalam respons.

- Nol dekat lingkaran unit (tetapi tidak di atasnya) menciptakan lekukan, bukan nol.

- Kutub DI DALAM lingkaran unit menjaga filter stabil.

Geometri Z-plane mengkodekan seluruh perilaku filter secara visual. Insinyur menggambar plot nol-kutub sebelum menghitung koefisien.

Suatu filter orde kedua memiliki dua nol di z = ±j (yang berada pada frekuensi f = 1/4 dan f = 3/4 pada lingkaran unit) dan satu kutub di z = 0,7 (pada sumbu nyata, di dalam lingkaran unit). Tanpa menghitung koefisien apa pun: deskripsikan bentuk respons frekuensi filter. Frekuensi mana yang melewati? Frekuensi mana yang nol? Di mana respons mencapai puncak? Justifikasi setiap klaim secara geometris.