Segitiga di Atas Setiap Bangunan
Setiap atap gable adalah segitiga. Geometri dari segitiga tersebut: naiknya, tariknya, dan hipotenusa: menentukan segalanya: bagaimana atap mengalirkan air, berapa banyak bahan yang diperlukan, dan sudut yang Anda potong setiap kayu pelat.
Tingkat adalah perbandingan kenaikan vertikal terhadap jalan horizontal. Sebuah 6/12 tingkat berarti atap naik 6 inci untuk setiap 12 inci jalan horizontal. Sebuah 12/12 tingkat adalah atap 45 derajat. Sebuah 4/12 tingkat adalah kemiringan yang lemah.
Kayu pelat adalah hipotenusa dari segitiga siku. Jika Anda tahu kenaikan dan tarik, Anda tahu panjang kayu pelat: itu adalah teorema Pythagoras yang diterapkan pada setiap atap di dunia.
Mengkonversi tingkat ke sudut: sudut = arctan(kenaikan / tarik). Sebuah 6/12 tingkat memberikan arctan (6/12) = arctan (0,5) = 26,57 derajat. Itu sudut adalah apa yang Anda tetapkan pada speed square untuk menandai setiap potong plumb & potong duduk pada kayu pelat.
Hitung Sudut Atap
Sebuah bangunan memiliki jarak 24 kaki (12 kaki tarik pada setiap sisi puncak) & menggunakan tingkat 9/12.
Jangkar Hip dan Sudut Gabungan
Jangkar umum berjalan sejajar dengan papan untaian: geometri nya adalah segitiga siku. Tapi jangkar hip berjalan diagonal dari sudut bangunan ke untaian. Ia duduk di sudut gabungan.
Jarak jangkar hip lebih panjang dari jarak jangkar umum karena ia mengembara diagonal melintasi rencana. Pada bangunan dengan sudut persegi, jarak hip = jarak umum × √(2). Itu adalah diagonal dari persegi.
Pitch jangkar hip selalu lebih tipis dari pitch jangkar umum. Jika jangkar umum adalah 9/12, jangkar hip adalah 9/16.97 (karena 12 × √(2) = 16.97). Sudut hip = arctan(9/16.97) = 27.9 derajat.
Geometri gabungan ini adalah mengapa atap hip lebih sulit dirangkai dari gable sederhana: setiap potong pada jangkar hip melibatkan dua sudut, bukan satu.
Tinggi, Jarak, dan Stringer
Geometri Tangga
Setiap tangga adalah segitiga siku. Penggaris: papan diagonal yang mendukung anak tangga: adalah hipotenusa. Jumlah total naik (tinggi lantai ke lantai) dan jumlah total turun (jarak horizontal) menentukan segitiga.
Kode bangunan mengendalikan geometri sangat ketat:
- Naik satuan (tinggi setiap langkah): 7 hingga 7-3/4 inci (IRC kode perumahan)
- Turun satuan (kedalaman setiap treads): minimal 10 inci
- Aturan naik turun: naik satuan + turun satuan harus antara 17 & 18 inci (suatu aturan jari tangan tukang kayu untuk tangga yang nyaman)
- Ketinggian kepala: minimal 6 kaki 8 inci diukur secara vertikal dari ujung tangga ke penghalang atas
Untuk menghitung jumlah puncak: bagi jumlah total naik dengan target naik satuan. Round ke bilangan bulat. Kemudian hitung kembali naik satuan tepat = jumlah total naik / jumlah puncak.
Contoh: jumlah naik total = 108 inci (9 kaki lantai ke lantai). Target naik satuan = 7,5 inci. 108 / 7,5 = 14,4, jadi gunakan 14 puncak. Naik satuan tepat = 108 / 14 = 7,714 inci. Jumlah treads = puncak - 1 = 13 (lantai atas adalah 'treads' terakhir).
Desain Tangga
Rumah dua lantai memiliki tinggi lantai ke lantai 9 kaki 4 inci (112 inci). Bukaan tangga memungkinkan jumlah turun horizontal maksimum 12 kaki.
Tangga Winder dan Langkan Pie-Slice
Belok Tanpa Tanjakan
Ketika tangga perlu belok tetapi ruang terlalu sempit untuk tanjakan, pembangun menggunakan langkan pie-shaped: langkan pie-shaped yang melengkung di sekitar sudut.
Geometri: setiap langkan pie-shaped adalah sektor lingkaran. Ujung sempit (di sudut dalam) harus memiliki lebar minimum 6 inci (kode minimum). Kedalaman langkan diukur dari garis jalan (12 inci dari sisi sempit) harus memenuhi batas minimum yang sama seperti langkan lurus: biasanya 10 inci.
Belok 90 derajat biasanya menggunakan tiga langkan pie-shaped (setiap memanjang 30 derajat) atau dua belok pie-shaped plus sedikit tanjakan. Belok 180 derajat (balik) menggunakan enam langkan pie-shaped atau kombinasi langkan pie-shaped & setengah tanjakan.
Tangga winder lebih sulit dibangun dan lebih berbahaya digunakan daripada tangga lurus: ujung sempit setiap langkan memberikan ruang kaki yang lebih sedikit di dalam belokan. Itulah mengapa kode membatasi geometri mereka secara hati-hati.
Mengapa Arc Bekerja
Geometri Transfer Beban
Arc mengonversi beban vertikal ke arah kompresi yang mengalir di sepanjang kurvanya ke dukungan. Berbeda dengan balok, yang menentang beban melalui lenturan (dan mengembangkan tarik di sisi bawah), arc dalam kompresi murnu tidak ada tarik: dan batu bata, batu, dan beton semua kuat dalam kompresi tetapi lemah dalam tarik.
Hal ini menjelaskan mengapa arc telah digunakan selama ribuan tahun dalam konstruksi batu dan bata: mereka bekerja dengan kekuatan bahan, bukan melawannya.
Bentuk arc menentukan seberapa baiknya menangani pola beban yang berbeda. Kurva yang berbeda menangani beban optimal yang berbeda.
Empat Bentuk Arc
Arc Semicircular: setengah lingkaran sempurna. Yang paling sederhana untuk dibangun (hanya mengayunkan kompas dari titik pusat). Menyalurkan beban merata. Digunakan oleh Romawi untuk akueduk, jembatan, dan Colosseum. Batasannya: ketinggiannya selalu tepat setengah dari jaraknya.
Arc Gothic/Pointed: terbentuk oleh dua lingkaran arc yang bertemu di atas titik di atas pusat. Dapat lebih tinggi daripada lebarnya. Mengarahkan lebih banyak kekuatan ke bawah (kurang dorongan horizontal), yang memungkinkan dinding tipis. Inilah mengapa gereja-gereja Gotik dapat memiliki jendela yang besar: arc pointed mengurangi dorongan ke luar pada dinding.
Arc Parabolic: mengikuti kurva y = ax². Optimal untuk mengangkut beban terdistribusi merata (seperti dek jembatan dengan lalu lintas merata). Parabola memastikan bahwa dorongan angin mengikuti garis tengah arc tepat di bawah beban terdistribusi merata.
Arc Catenary: kurva yang terbentuk oleh rantai terbalik (invert). Mengikuti y = a × cosh(x/a). Optimal untuk mengangkut beban sendiri. Arc Gateway di St. Louis adalah catenary berat: bentuknya memastikan kompresi murni di bawah beban sendiri dengan tidak ada lenturan.
Catenary & Self-Weight
Curva catenary adalah bentuk yang dicapai oleh rantai atau kabel saat digantung bebas di bawah bobot sendiri. Secara matematis, itu adalah y = a × cosh (x / a), di mana 'a' adalah konstanta yang tergantung pada berat per satuan panjang rantai dan gaya horizontal.
Jika Anda balikkan rantai yang digantung, Anda akan mendapatkan jembatan catenary. Ini dalam kompresi murni di bawah bobot sendiri: itu adalah kebalikan tepat dari gaya tegas dalam rantai yang digantung.
Arc Gateway di St. Louis (630 kaki) adalah kantilever berat. Eero Saarinen dan insinyur Hannskarl Bandel merancangnya agar lebar penampang arc bervariasi: lebih tebal di bagian dasar, lebih tipis di bagian atas: dan persamaan kantilever diubah untuk mempertimbangkan distribusi berat ini.
Mengatur Sudut Siku di Tempat Kerja
Geometri di Tanah Lembap
Sebelum satu pun footer ditambang, bangunan harus diatur di situs dengan geometri yang tepat. Alat yang digunakan adalah tali, papan pengukur, papan pengukur, dan paku; tetapi ketelitian yang diperlukan tinggi.
Papan bater adalah papan horizontal yang dipasang pada tiang, yang diletakkan sedikit jauh dari sudut bangunan. Garis tali yang direntangkan antara papan bater menandai garis fondasi. Dengan mengatur kapan tali menempel pada papan bater, pembangun dapat memperbaiki tata letak tanpa mengganggu tiang.
Menetapkan sudut menggunakan segitiga 3-4-5: triplet Pythagoras paling sederhana. Ukur 3 kaki sepanjang satu garis tali dari sudut, 4 kaki sepanjang garis tali lainnya, dan jika diagonalnya tepat 5 kaki, sudut tersebut adalah 90 derajat. Untuk akurasi yang lebih besar, gunakan kelipatan: 6-8-10, 9-12-15, atau 12-16-20.
Mengecek persegi panjang menggunakan pengukuran diagonal. Pada persegi panjang yang benar, kedua diagonal harus sama. Jika mereka tidak, tata letak adalah parallelogram & membutuhkan penyesuaian. Pengujian ini menangkap kesalahan yang metode 3-4-5 pada sudut individu mungkin melewatkannya.
Level laser memproyeksikan bidang rujukan horizontal cahaya. Laser berputar menetapkan garis level di sekitar seluruh situs, memungkinkan pembangun untuk memeriksa ketinggian di setiap titik. Sebelum level laser, pembangun menggunakan level air: tabung panjang yang diisi air, dengan mengandalkan fakta bahwa air mencari level sendiri.
Metode 3-4-5
Segitiga 3-4-5 berfungsi karena 3² + 4² = 5² (9 + 16 = 25). Ini adalah teorema Pythagoras: jika hipotenusa segitiga siku-siku sama dengan akar kuadrat dari jumlah kuadrat dari dua sisi lainnya, sudut tersebut adalah 90 derajat.
Di lapangan konstruksi, Anda bekerja dengan alat ukur. Anda menandai 3 kaki pada satu sisi, 4 kaki pada sisi lain, dan memeriksa apakah diagonalnya adalah 5 kaki. Jika diagonalnya terlalu panjang, sudutnya lebih dari 90 derajat (sudut tumpul). Jika terlalu pendek, sudutnya kurang dari 90 derajat (sudut tumpul).
Geometri Menggunakan Bahasa Pembangun
Apa yang Anda Pelajari
Setiap bagian dari les ini kembali ke alat yang sama: segitiga siku, teorema Pythagoras, fungsi trigonometri, & kurva yang didefinisikan oleh persamaan matematis.
- Atap adalah segitiga siku. Ketinggian adalah naik/turun. Panjang kayu pelatuk adalah hipotenusa. Sudut berasal dari arctan.
- Tangga adalah segitiga siku. Kayu pelurus adalah hipotenusa. Tinggi & turun adalah terbatas oleh kode.
- Arc adalah kurva yang dipilih untuk cocok dengan garis dorong di bawah pola beban khusus: lingkaran, parabola, & catenary.
- Tata letak situs menggunakan teorema Pythagoras untuk membulatkan sudut & mengverifikasi persegi panjang.
Matematika tidak abstrak: itu dicetak di setiap pelatuk, dirutin di setiap pelurus, dan direntang di setiap lokasi konstruksi. Tukang kayu, tukang batu, dan pembangun telah menjadi geometer yang diterapkan selama ribuan tahun.