un

guest
1 / ?
back to lessons

Derivasi Persamaan Logistik

Kurva S Hamming memiliki derivasi matematis yang tepat. Mulailah dengan dua observasi tentang penerimaan teknologi:

1. Laju penerimaan bertambah cepat dengan penerimaan saat ini (penyebaran kata, efek jaringan): dP/dt ∝ P

2. Laju penerimaan menurun saat pasar mencapai titik ketercukupan: dP/dt ∝ (1 − P)

Gabungkan: dP/dt = r · P · (1 − P)

Ini adalah persamaan diferensial logistik. Ini dapat diuraikan: pemisahan fraksi parsial memungkinkan integrasi langsung.

Derivasi

Pisahkan variabel: dP / [P(1−P)] = r dt

Fraksi parsial: 1/[P(1−P)] = 1/P + 1/(1−P)

Integrasikan kedua sisi: ln(P) − ln(1−P) = rt + C

ln[P/(1−P)] = rt + C

P/(1−P) = e^(rt+C) = e^C · e^(rt)

Lepaskan K = e^C. Tentukan P: P = K·e^(rt) / (1 + K·e^(rt))

Dapat juga: P(t) = 1 / (1 + e^(−r(t − t₀)))

di mana t₀ = (ln K)/r adalah titik infleksi.

Titik Infleksi

Pada t = t₀: P = 0,5. Deret kedua d²P/dt² = 0: laju pertumbuhan maksimum. Sebelum t₀: konveks naik (mengembang). Setelah t₀: konveks turun (menurun).

Geometri Aplikasi Komputer: Metcalfe & Landscape Optimitas

Pasang Surut Kurva Logistik ke Data

Dengan dua titik data pada kurva logistik, Anda dapat menyelesaikan baik r maupun t₀.

Penerimaan internet: P(1995) = 0,01 (1% rumah tangga Amerika), P(2005) = 0,70 (70%).

Gunakan P(t) = 1/(1 + e^(−r(t−t₀))), buat dua persamaan dari titik data P(1995)=0,01 dan P(2005)=0,70. Dari P(2005)=0,70: hitung t₀ menggunakan ln[P/(1−P)] = r(t−t₀). Kemudian gunakan kedua persamaan untuk menyelesaikan r. Tunjukkan semua aljabar. Apa yang prediksi r Anda untuk P(2010)?

Nilai Jaringan sebagai Penghitungan Geometris

Hamming mencatat bahwa aplikasi lebih banyak mempengaruhi penerimaan penggunaan komputer daripada perangkat keras atau perangkat lunak. Aplikasi yang tergantung pada jaringan mengikuti model pertumbuhan khusus: nilainya meningkat lebih cepat daripada biayanya.

Hukum Metcalfe

Nilai jaringan dengan n pengguna sebanding dengan jumlah koneksi mungkin antara pengguna:

V(n) = k · n(n−1)/2 ≈ k · n²/2 (untuk besar n)

di mana k adalah nilai satu koneksi. Biaya jaringan: C(n) ∝ n (sekitar linier dalam jumlah pengguna).

Nilai-to-cost ratio: V/C ∝ n²/n = n. Saat n tumbuh, rasio tumbuh linier. Jaringan dengan 10x lebih banyak pengguna memberikan sekitar 100x lebih banyak nilai hanya dengan 10x biaya.

Gambar Geometris

Dengan n node, jumlah tepi dalam graf kompleks K_n adalah C(n,2) = n(n−1)/2. Ini adalah rumus kombinatorial: pilih 2 node dari n. Untuk n=10: C(10,2)=45. Untuk n=100: C(100,2)=4950. Untuk n=1000: C(1000,2)=499,500.

S-curve dan Hukum Metcalfe saling berinteraksi: selama Fase 2 adoptasi cepat, n tumbuh cepat, dan V(n) tumbuh sebagai n². Inflasi nilai terjadi sebelum inflasi adoptasi - nilai mengambil alih sebelum adoptasi, menarik lebih banyak adoptasi dalam pola balik positif.

Nilai Jaringan pada Berbagai Tingkat Adopsi

Adopsi surel: pada tahun 1985 (n=100,000 pengguna), k = $0.01 per koneksi-tahun. Pada tahun 1995 (n=30,000,000 pengguna).

Hitung V(1985) = k · n(n−1)/2 dan V(1995) = k · n(n−1)/2 menggunakan nilai yang diberikan. Apa rasio V(1995)/V(1985)? Kemudian hitung rasio pertumbuhan pengguna n(1995)/n(1985). Apa yang rasio pertumbuhan nilai kepada pertumbuhan pengguna katakan tentang mengapa surel menjadi tidak terpisahkan begitu tiba di awal 1990-an?

Optimalisasi sebagai Geometri

Kisah pita Boeing Hamming menggambarkan kegagalan optimalisasi dengan arti geometri yang tepat. Optimalisasi fungsi f(x) pada lanskap membutuhkan:

1. Fungsi yang jelas f: tujuan (drag, biaya, waktu ke pasar)

2. Lanskap tetap: f di evaluasi pada kondisi yang sama setiap kali

3. Gradien: arah perbaikan tercepat

Ketika lanskap berubah antara pengukuran, gradien yang Anda perkirakan mungkin menunjuk ke arah yang tidak ada lagi saat Anda mengambil langkah berikutnya. Anda sedang menghitung gradien(f₁) tetapi berjalan di lanskap f₂.

Turunan Gradien

Turunan gradien standar: x_{t+1} = x_t − α ∇f(x_t)

di mana α = ukuran langkah (learning rate), ∇f = vektor gradien (deret parsial).

Kegagalan Boeing: pada waktu t, tim mengukur f(x_t). Pada waktu t+1, tim mengubah x menjadi x_t + Δx. Tapi basis data bersama juga berubah: f sekarang f' ≠ f. Perubahan yang diamati: f'(x_t + Δx) − f(x_t). Ini BUKAN gradien dari f — termasuk suatu istilah dari perubahan lanskap.

Gradien Fantom

Perubahan yang diukur = [f'(x+Δx) − f(x)] = [f(x+Δx) − f(x)] + [f'(x+Δx) − f(x+Δx)]

= gradien sebenarnya × Δx + perubahan lanskap

Jika perubahan lanskap mendominasi: tim bergerak ke minimum dalam f' yang merupakan maksimum dalam f. Mereka mengoptimalisasikan hal yang salah — mungkin membuat desain mereka lebih buruk meskipun pengukuran menunjukkan peningkatan.

Mengukur Kesalahan Gradien Fantom

Tim lain secara bersamaan mengurangi berat fuselage, yang mengubah fungsi gesekan: f' = f − 0.8. (Fuselage yang lebih ringan mengurangi gesekan 0.8 unit pada semua konfigurasi.)

Tim pertama mengukur: f'(θ+Δθ, s) − f(θ, s) = [f(θ+Δθ, s) − 0.8] − f(θ, s) = −0.5·Δθ − 0.8.

The first team measures: f'(θ+Δθ, s) − f(θ, s) = [f(θ+Δθ, s) − 0.8] − f(θ, s) = −0.5·Δθ − 0.8.

Jika tim pertama mengatur Δθ = 1 (mengubah sudut sayap 1 unit), apa perubahan yang diukur? Mereka mengatribusikan hal itu kepada apa? Apa kontribusi sebenarnya dari perubahan sudut sayap mereka sendiri dibanding kontribusi hantu dari perubahan fuselage? Tunjukkan aritmatika dan interpretasi: apakah gradien hantu dapat membuat tim berhenti mengoptimalisasi θ terlalu dini?