Latihan & Hukum Kuadrat
Di seluruh rentang keterampilan yang luar biasa — mengetik, membaca, menyelesaikan masalah aritmetika, menyusun peralatan — performa meningkat sesuai hukum kuadrat:
y = a · x^(−b)
di mana y = kesalahan per trial (atau waktu per trial), x = trial latihan akumulatif, a = tingkat performa awal, b = eksponen laju pembelajaran (b > 0 untuk peningkatan).
Hukum kuadrat memiliki sifat yang jelas: dalam ruang log-log, menjadi garis lurus.
ln y = ln a − b · ln x
Slope dari garis dalam ruang log-log: −b. Slope yang lebih curam = belajar yang lebih cepat. Eksponen yang sama b menggambarkan laju pembelajaran, terlepas dari tingkat performa awal a.
Mengapa log-log? Latihan awal menghasilkan peningkatan besar; latihan akhir menghasilkan pengembalian yang menurun. Plot linear menunjukkan penurunan dramatis awal lalu ekor yang rata. Log-log mengungkap struktur yang serupa: setiap penggandaan latihan mengurangi kesalahan oleh faktor yang sama 2^(−b).
Menghitung Laju Pembelajaran
Jika seorang pelajar membuat 100 kesalahan pada trial ke-1 dan 50 kesalahan pada trial ke-8, apa b?
y₁ = a · 1^(−b) = a = 100
y₈ = a · 8^(−b) = 100 · 8^(−b) = 50
8^(−b) = 0.5 → −b · ln(8) = ln(0.5) = −0.693 → b = 0.693 / ln(8) = 0.693 / 2.079 ≈ 0.333
Ebbinghaus & Pelupaan Eksponensial
Hermann Ebbinghaus (1885) mengukur retensi dirinya terhadap suku kata bermakna secara waktu dan menemukan bahwa retensi mengikuti peluruhan eksponensial:
r(t) = e^(−t/S)
di mana r(t) = fraksi yang diingat pada waktu t, S = kekuatan memori (meningkat dengan setiap ulangan). Pada t = 0: r = 1 (100% diingat). Pada t = S: r = 1/e ≈ 37%.
Efek Spacing: mengulangi materi pada saat materi hampir dilupa (ketika r ≈ 0.8 atau lebih rendah) menghasilkan peningkatan yang lebih besar dalam S daripada mengulangi segera setelah belajar.
Waktu ulangan optimal: jika S tumbuh dengan faktor tetap k dengan setiap ulangan, interval optimal membentuk urutan geometris. Setelah belajar dengan S₀, ulangi pada waktu S₀, k·S₀, k²·S₀, .... Setiap interval adalah k kali lebih lama dari urutan sebelumnya.
Nilai k umum dari data empiris: 2.0–2.5. Seorang siswa yang mengulangi pada hari 1, 2, 4, 8, 16 mengikuti pola spacing geometris ini.
Menghitung Interval Ulangan Optimal
Seorang siswa belajar materi dengan kekuatan memori awal S₀ = 2 hari. Setiap ulangan mengalikan S dengan k = 2.5. Siswa tersebut mengulangi tepat sebelum retensi turun menjadi 80% (r ≥ 0.80).
Pada ambang batas: e^(−t/S) = 0.80, jadi t = −S · ln(0.80) ≈ S · 0.223.
Kurikulum sebagai Graf
Program cabang memdefinisikan graf terarah G = (V, E) di mana:
- Titik V: node instruksional (blok konten, pertanyaan, umpan balik)
- Tali E: transisi yang ditandai oleh klasifikasi tanggapan siswa (benar, sebagian, salah, klarifikasi)
Setiap siswa mengikuti jalan melalui G dari titik masuk ke titik keluar. Jalan tersebut sepenuhnya tergantung pada setiap langkah yang diaktifkan oleh setiap sisi.
Sifat yang ditentukan oleh struktur graf:
1. Capability of Reachability: dapatkah setiap titik diakses dari titik masuk? Titik yang tidak dapat diakses adalah konten mati — siswa tidak pernah melihatnya.
2. Pendeteksi pola: apakah graf mengandung pola? Siklus berarti siswa dapat terus-menerus berulang. Program adaptif menggunakan siklus secara sengaja (loop ulang) tetapi harus menjamin keluaran akhir (sisi maksimum yang memaksa kemajuan).
3. Distribusi panjang jalan: berapa langkah yang diambil siswa rata-rata? Program cabang yang baik memungkinkan siswa maju dengan jalan pendek; siswa yang sulit mengambil jalan panjang remedial.
Menganalisis Sifat Program Cabang
pertimbangkan program cabang dengan 5 node pertanyaan (Q1-Q5) dan 3 node remedial (R1-R3). Jalan siswa maju: Q1 → Q2 → Q3 → Q4 → Q5. Jalan siswa sulit: Q1 → R1 → Q1 → Q2 → R2 → Q2 → Q3 → Q4 → Q5.
Graf menjamin kemajuan melalui sisi maksimum-attempts: setelah 3 upaya gagal pada Qn, siswa maju ke Qn+1 tanpa mempertimbangkan performa.