लॉजिस्टिक समीकरण की व्युत्पत्ति
हैमिंग की एस-कर्व की सटीक गणितीय व्युत्पत्ति है। प्रौद्योगिकी स्वीकृति के बारे में दो अवलोकनों से शुरू करें:
1. स्वीकृति की दर वर्तमान स्वीकृति (शब्द-मौखिक, नेटवर्क प्रभाव) के साथ तेज होती है: dP/dt ∝ P
2. बाजार के संतुलित होने पर स्वीकृति की दर धीरे धीरे धीमी होती है: dP/dt ∝ (1 − P)
संयुक्त: dP/dt = r · P · (1 − P)
यह लॉजिस्टिक differential equation है। यह separable है: partial-fraction decomposition सीधी integration की अनुमति देता है।
व्युत्पत्ति
संबंधों को अलग करें: dP / [P(1−P)] = r dt
अंशों की आंशिक संख्या: 1/[P(1−P)] = 1/P + 1/(1−P)
दोनों ओर की ओर एकीकृत करें: ln(P) − ln(1−P) = rt + C
ln[P/(1−P)] = rt + C
P/(1−P) = e^(rt+C) = e^C · e^(rt)
के लिए K = e^C. P के लिए हल ढूंढें: P = K·e^(rt) / (1 + K·e^(rt))
या: P(t) = 1 / (1 + e^(−r(t − t₀)))
जहां t₀ = (ln K)/r है inflection point।
inflection point
t = t₀ पर: P = 0.5। दूसरा derivative d²P/dt² = 0: वृद्धि की दर अधिकतम होती है। t₀ से पहले: concave up (accelerating)। t₀ के बाद: concave down (decelerating)।
डेटा को लॉजिस्टिक में फिट करना
दो लॉजिस्टिक कुर्व के डेटा पॉइंट्स दिए गए हैं, आप r और t₀ दोनों को हल कर सकते हैं।
इंटरनेट स्वीकृति: P(1995) = 0.01 (US घरेलू के 1%), P(2005) = 0.70 (70%)।
नेटवर्क मूल्य के रूप में भौगोलिक गिनती
हैमिंग नोट किया कि आवेदनों ने हार्डवेयर या सॉफ्टवेयर की तुलना में कंप्यूटिंग अपनाने में अधिक भूमिका निभाई। नेटवर्क-निर्भर अनुप्रयोगों का विशेष वृद्धि मॉडल का अनुसरण करते हैं: उनका मूल्य उनकी लागत से तेजी से बढ़ता है।
मेटकल्फ़ का कानून
n उपयोगकर्ताओं वाले एक नेटवर्क का मूल्य उपयोगकर्ताओं के बीच संभव संबंधों की संख्या के अनुपाती है:
V(n) = k · n(n−1)/2 ≈ k · n²/2 (बड़े n के लिए)
जहां k एक संबंध का मूल्य है। नेटवर्क की लागत: C(n) ∝ n (उपयोगकर्ता की संख्या के अनुरूप रूप से लाइनर)।
मूल्य-लागत अनुपात: V/C ∝ n²/n = n। जब n बढ़ता है, तो अनुपात लाइनरी रूप से बढ़ता है। 10 गुणा अधिक उपयोगकर्ता वाले एक नेटवर्क को लगभग 100 गुणा अधिक मूल्य प्राप्त होता है और सिर्फ 10 गुणा लागत।
भौगोलिक चित्र
n नोड्स के साथ, एक पूर्ण ग्राफ K_n में कैंडिडेट की संख्या C(n,2) = n(n−1)/2 होती है। यह एक संयुग्मांकीय सूत्र है: n से 2 नोड चुनें। n=10 के लिए: C(10,2)=45। n=100 के लिए: C(100,2)=4950। n=1000 के लिए: C(1000,2)=499,500।
एस-क्यूर्व और मेटकल्फ़ का कानून परस्पर क्रिया करते हैं: फेज 2 तेजी से अपनाने के दौरान, n तेजी से बढ़ता है, और V(n) n² के रूप में बढ़ता है। मूल्य परिवर्तित होता है से अपनाने के परिवर्तित होने से - मूल्य तेजी से आगे बढ़ता है, जो और अधिक अपनाने को सकारात्मक प्रतिफल के लूप में खींचता है।
विभिन्न अपनाने के स्तर पर नेटवर्क मूल्य
ईमेल अपनाने: 1985 में (n=100,000 उपयोगकर्ता), k = प्रति संबंध-वर्ष 0.01। 1995 में (n=30,000,000 उपयोगकर्ता)।
ऑप्टिमाइजेशन को ज्यामिति में परिभाषित किया गया है
हैमिंग्स बोइंग टेप कहानी एक ऑप्टिमाइजेशन फेलर का वर्णन करती है जिसके साथ निश्चित ज्यामितीय अर्थ है। एक फलन f(x) को एक लैंडस्केप में ऑप्टिमाइज़ करने के लिए:
1. एक स्पष्ट फलन f: लक्ष्य (ड्रैग, लागत, समय-सीमा)
2. एक स्थिर लैंडस्केप: f को हर बार मापा जाता है
3. एक ग्रेडिएंट: सुधार की सबसे ढाल
जब माप के बीच लैंडस्केप बदलता है, तो आप अनुमान लगा सकते हैं कि ग्रेडिएंट(f₁) को लैंडस्केप f₂ में अगले चरण में गिरावट की दिशा का संकेत देता है।
ग्रेडिएंट डेसेंट
स्टैंडर्ड ग्रेडिएंट डेसेंट: x_{t+1} = x_t − α ∇f(x_t)
जहां α = चरण आकार (सीखने की दर), ∇f = ग्रेडिएंट वेक्टर (भागीय विभेदक)।
बोइंग की विफलता: समय t पर, टीम f(x_t) को मापती है। समय t+1 पर, टीम x को x_t + Δx में बदलती है। लेकिन साझा डेटाबेस भी बदल गया: f अब f' नहीं है। प्राप्त परिवर्तन: f'(x_t + Δx) − f(x_t)। यह f का ग्रेडिएंट नहीं है - यह लैंडस्केप शिफ्ट का एक शब्द भी शामिल करता है।
फैंटम ग्रेडिएंट
प्राप्त परिवर्तन = [f'(x+Δx) − f(x)] = [f(x+Δx) − f(x)] + [f'(x+Δx) − f(x+Δx)]
= सही ग्रेडिएंट × Δx + लैंडस्केप शिफ्ट
यदि लैंडस्केप शिफ्ट प्रमुख होता है: टीम f' का एक न्यूनतम की ओर बढ़ती है जो f में एक अधिकतम होता है। वे गलत चीज का ऑप्टिमाइज़ करते हैं - संभवत ही अपने डिज़ाइन को बेहतर बनाने के बजाय खराब करते हैं जबकि मापें सुधार दिखाती हैं।
फैंटम ग्रेडिएंट की त्रुटि की गणना करना
एक टीम ड्रैग f(θ, s) का अनुप्रयोग करती है जहां θ = विंग एंगल, s = स्पैन। सटीक ग्रेडिएंट: ∂f/∂θ = −0.5 (ड्रैग θ के साथ घटता है), ∂f/∂s = +0.3 (ड्रैग s के साथ बढ़ता है)।
दूसरी टीम एक साथ फ्यूजलेज़ वजन कम करती है, जो ड्रैग फंक्शन को बदल देती है: f' = f − 0.8। (एक हल्के फ्यूजलेज़ का ड्रैग पर 0.8 इकाइयों की कमी होती है सभी सेटिंग्स में)।
पहली टीम मापती है: f'(θ+Δθ, s) − f(θ, s) = [f(θ+Δθ, s) − 0.8] − f(θ, s) = −0.5·Δθ − 0.8।