Matemáticas Platónicas
Hamming encuestó cinco escuelas principales de pensamiento sobre qué son las matemáticas. Ninguna ha demostrado ser completamente satisfactoria.
La escuela más antigua: Platonismo. Platón argumentó que el mundo de las ideas, incluidos los objetos matemáticos, es más real que el mundo físico. Los objetos físicos son instantáneas imperfectas e inestables de formas perfectas e inmutables.
Aplicado a las matemáticas: el número 7 no es el numeral escrito en una página, no son siete caballos, no son siete sillas. El número abstracto 7 existe en un reino de ideas puras. No tiene instanciación física. Nunca ha visto, escuchado, tocado ni olido el número 7 en sí mismo — solo sus sombras en el mundo físico.
La observación clave de Hamming: independientemente de la notación, 7 es primo. En números romanos (VII), en binario (111), en hexadecimal (7) — la primacidad no depende de la representación. Este independencia-de-notación es a lo que los platonistas se refieren como evidencia de la existencia independiente de los objetos matemáticos.
El Formalismo: Las Matemáticas como Manipulación de Símbolos
La escuela Formalista, asociada con David Hilbert, toma la posición opuesta. Las matemáticas son un juego formal: elija un conjunto de axiomas e inferencias, luego derive teoremas al aplicar mecánicamente las reglas. Los símbolos no tienen significado fuera del sistema formal.
En este sentido, las matemáticas son inventadas, no descubiertas. Sistemas axiomáticos diferentes producen diferentes matemáticas. La geometría euclidiana y la no euclidiana ambas son válidas — comienzan desde diferentes axiomas.
La posición de Hamming: actúa como un platonista cuando hace matemáticas (se siente descubriendo verdades preexistentes) pero sospecha que los formalistas tienen razón sobre las bases (no hay un reino eterno, solo el juego formal que elegimos jugar).
La prueba práctica de Hamming para un resultado matemático: independientemente de cuál sea correcta, un teorema probado dentro de un sistema formal coherente es confiable. El debate filosófico no afecta al valor de ingeniería del resultado.
Matemáticas y el Mundo Físico
En 1960, el físico Eugene Wigner publicó un ensayo titulado 'The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences' (La efectividad poco razonable de las matemáticas en las ciencias naturales). La tesis: las matemáticas desarrolladas por matemáticos puros y por razones abstractas puras siguen describiendo la realidad física con una precisión increíble.
Ejemplos citados por Hamming:
- Las ecuaciones de Maxwell: derivadas de la elegancia matemática pura y simetría, predijeron ondas electromagnéticas — y específicamente, la velocidad de la luz — antes de cualquier verificación experimental.
- La geometría riemanniana: desarrollada por Bernhard Riemann en la década de 1850 como matemáticas puras, sin aplicación física en mente. Einstein la utilizó 60 años después como el marco matemático para la relatividad general.
- Mecánica cuántica: construida sobre espacios de Hilbert, algebra de operadores y teoría de grupos — desarrollados independientemente por matemáticos por razones abstractas.
¿Por qué las matemáticas desarrolladas en la mente, por razones estéticas puras, describirían la realidad física con tanta precisión? Ni los platonistas ni los formalistas tienen una respuesta completamente satisfactoria.
Evaluando el Rompecabezas de Wigner
La observación de Wigner es impresionante, pero se puede cuestionar. No toda matemática que se desarrolla resulta útil - solo la matemática que termina describiendo algo sobrevive en la historia de la física. Quizás el efecto de selección está haciendo el trabajo.
Más abstracto = más aplicable en general
Hamming hizo una afirmación contraintuitiva: cuánto más abstracta sea una herramienta matemática, más ampliamente se aplicará.
Matemática concreta: la fórmula para el área de un rectángulo específico. Aplica a una sola forma.
Matemática abstracta: álgebra lineal sobre un campo. Aplica a la mecánica cuántica, la representación gráfica de computadoras, la economía, la compresión de datos, el análisis de circuitos, la estadística - cualquier dominio en el que aparezcan vectores e interpretaciones lineales.
¿Por qué? La abstracción elimina el contenido específico del dominio, dejando solo la estructura. Dos sistemas con la misma estructura obedecen los mismos teoremas, incluso si uno involucra campos eléctricos y el otro involucra distribuciones de probabilidad.
Matemáticas universales: Hamming señaló que cualquier civilización capaz de comunicarse interestelarmente debe haber desarrollado las mismas matemáticas. La razón: las matemáticas derivan sus teoremas de axiomas a través de la lógica, y la lógica parece ser universal. El número 7 es primo en cualquier notación porque la primacidad es una propiedad estructural, no notacional.
El valor de la abstracción
La historia de las matemáticas contiene muchos ejemplos de estructuras abstractas desarrolladas sin aplicación en mente que más tarde se convirtieran en herramientas esenciales en física o ingeniería.