La interfaz como una transformación geométrica
La ley de Snell n₁ sin θ₁ = n₂ sin θ₂ describe cómo una rayo cambia de dirección en una frontera. Geométricamente, mapea un ángulo de incidencia θ₁ a un ángulo transmitido θ₂ a través de una función monotónica.
Definir f: [0°, 90°] → [0°, 90°] por f(θ₁) = arcsin ((n₁/n₂) sin θ₁). Cuando n₁ > n₂ (la luz que va de un medio denso a uno menos denso), f amplifica ángulos: pequeños ángulos de entrada se convierten en ángulos más grandes de salida.
El ángulo crítico surge como el valor de entrada donde f(θ_c) = 90°:
sin θ_c = n₂/n₁
Para ángulos de entrada más allá de θ_c, la función no tiene salida real: el rayo transmitido desaparece. La intensidad total se refleja. Esto es la reflexión interna total.
Abertura Numérica: el Cono de Aceptación
La luz entra en un fibra desde el aire (n₀ = 1.0). No todos los rayos que entran en la cara del fibra se someterán a la reflexión interna total en la frontera núcleo-aislamiento. Solo los rayos dentro de un cierto cono de ángulos en la entrada del fibra serán guiados.
La abertura numérica (NA) mide la mitad del ángulo de este cono de aceptación:
NA = n₀ sin(θ_max) = √(n₁² − n₂²)
donde n₁ es el índice del núcleo y n₂ es el índice del aislamiento. Esto sigue de aplicar la ley de Snell en la cara de entrada y luego requiere que el rayo refractado golpee la frontera núcleo-aislamiento exactamente en el ángulo crítico.
Una mayor NA significa un cono de aceptación más amplio: más fácil de acoplar la luz, pero se permiten más modos, aumentando la dispersión.
La decadencia exponencial fuera del núcleo
La reflexión total interna no significa que el campo electromagnético desaparezca de inmediato en la frontera entre el núcleo y la capa de aislamiento. El campo penetra en la capa de aislamiento como una onda evanescente que se desvanece exponencialmente con la distancia z desde la interfaz:
E(z) = E₀ · e^(−z/d_p)
donde la profundidad de penetración d_p depende de la longitud de onda λ, el ángulo de incidencia θ y los índices de refracción:
d_p = λ / (4π √(n₁² sin²θ − n₂²))
A medida que θ se acerca a θ_c desde arriba, el denominador se aproxima a cero y d_p → ∞: el campo evanescente se extiende más lejos a medida que el ángulo apenas supera el ángulo crítico. Hondo en la reflexión total interna (θ >> θ_c), d_p se reduce a aproximadamente λ/4.
Consecuencia práctica: dos fibras colocadas lo suficientemente cerca una de la otra pueden intercambiar luz a través de sus campos evanescentes - un acoplador direccional. Esto permite la división de potencia, la multiplexación por longitud de onda y la interconexión óptica sin conexiones mecánicas.
Acoplamiento evanescente
Un acoplador evanescente coloca dos núcleos de fibra paralelos a unos pocos nanómetros uno de otro. La luz viaja de un núcleo a otro a través de los campos evanescentes que se superponen.
El número V y el conteo de modos
¿Cuántos modos soporta una fibra? Una única cantidad adimensional, el número V (o frecuencia normalizada), determina esto:
V = (π · d · NA) / λ
donde d es el diámetro del núcleo, NA es el ángulo de entrada numérico y λ es la longitud de onda.
Una fibra soporta solo un modo (de un solo modo) cuando V < 2.405 (el primer cero de la función de Bessel J₀). Se presentan múltiples modos cuando V > 2.405. El conteo de modos escala aproximadamente como V²/2 para grandes V.
Para garantizar el funcionamiento de un solo modo en λ = 1550 nm con NA = 0.12:
V < 2.405 → d < (2.405 · λ) / (π · NA) = (2.405 × 1550 nm) / (π × 0.12) ≈ 9.9 µm
Por lo tanto, por qué la fibra de telecomunicaciones de un solo modo utiliza un diámetro de núcleo de ≈8-10 µm: una restricción geométrica impuesta por el requisito de V < 2.405.