De Dominio de Tiempo a Plano de Frecuencia Compleja
La transformada de Z mapea una secuencia x_n a una función X(z) de una variable compleja:
X(z) = Σ_{n=−∞}^{∞} x_n · z^{−n}
La variable z parametra el plano complejo. Diferentes regiones de este plano corresponden a diferentes comportamientos cualitativos del filtro.
Regiones Geométricas
| Región | |z| | Comportamiento |
|--------|-----|---------|
| Dentro del círculo unitario | < 1 | Polos estables: respuesta decreciente |
| Círculo unitario | = 1 | Eje de frecuencia: z = e^{i2πf} |
| Fuera del círculo unitario | > 1 | Polos inestables: respuesta creciente |
El círculo unitario juega el mismo papel en la estabilidad de tiempo discreto que el eje imaginario juega en la estabilidad de tiempo continuo (Laplace).
Relación con la Transformada de Laplace
Para sistemas de tiempo continuo, la transformada de Laplace utiliza la variable s. El eje imaginario s = iω es donde vive la respuesta de frecuencia. Estabilidad: los polos deben tener Re(s) < 0 (semiplano izquierdo).
La transformada bilineal mapea s → z: z = (1 + Ts/2) / (1 − Ts/2). Esto mapea el semiplano izquierdo a dentro del círculo unitario — la traducción geométrica de 'semiplano izquierdo estable' a 'dentro del círculo unitario estable.'
La Transformada Bilineal como Mapa Conformal
La transformada bilineal z = (1 + Ts/2) / (1 − Ts/2) es una transformación de Möbius — un mapa conformal (que conserva ángulos) del plano complejo.
Sus propiedades geométricas clave:
- Mapea s = iω (eje imaginario) a |z| = 1 (círculo unitario)
- Mapea Re(s) < 0 (semiplano izquierdo) a |z| < 1 (dentro del círculo unitario)
- Mapea Re(s) > 0 (semiplano derecho) a |z| > 1 (fuera del círculo unitario)
- Distorsión de frecuencia: la mapeo ω → f es no lineal — ω_analógico = (2/T)·tan(πf_digital)
Este entrelazamiento comprime las frecuencias altas hacia el punto de Nyquist. Los diseñadores lo tienen en cuenta pre-entrelazando la especificación analógica antes de aplicar la transformada bilineal.
Polos de Butterworth: Locus Circular
Los filtros Butterworth logran una transición de corte máxima y una banda de paso plana al colocar los polos analógicos en un círculo de radio ω_c en el semiplano s.
Para un filtro Butterworth de orden N, los polos están ubicados en:
s_k = ω_c · e^{iπ(2k+N−1)/(2N)} para k = 0, 1, …, N−1
Esto los coloca espaciados uniformemente en la mitad izquierda de un círculo de radio ω_c. (Los polos en la mitad derecha serían inestables; solo se conservan los polos en la mitad izquierda del semiplano s.)
¿Por qué locus circular → banda de paso máximamente plana?
El polinomio de Butterworth |B_N(jω)|² = 1 + (ω/ω_c)^{2N} tiene todos sus polos en |s| = ω_c. La restricción de radio igual significa que todos los polos contribuyen por igual a la respuesta de magnitud en ω = ω_c. El teorema de la máxima planitud: entre todos los polinomios de orden N con polos en este círculo, el polinomio de Butterworth tiene el número máximo de derivadas iguales a cero en ω = 0.
Polos de Chebyshev: Locus Elíptico
Los polos de Chebyshev se encuentran en una elipse en el plano s (no en un círculo). La elipse tiene ejes semimayor y semiminor determinados por el parámetro de rizado ε. La banda de paso con igual rizado surge de la propiedad de equioscilación de los polinomios de Chebyshev.
Polos Elípticos: Lugar de Función Elíptica
Los polos de filtro elíptico (Cauer) también se encuentran en una elipse, pero con ambas polos y ceros contribuyendo a la respuesta en frecuencia. Los ceros se sitúan en el eje imaginario (polos de atenuación finita en la banda de rechazo). La función elíptica distribuye ópticamente los ceros para lograr un rizado igual en ambas bandas simultáneamente.
Calcular la ubicación de los polos de Butterworth
Para un filtro Butterworth de 4ª orden con ω_c = 1 (normalizado), los polos se encuentran en:
s_k = e^{iπ(2k+3)/8} para k = 0, 1, 2, 3
k=0: s₀ = e^{i3π/8} (en el semiplano izquierdo)
k=1: s₁ = e^{i5π/8} (en el semiplano izquierdo)
k=2: s₂ = e^{i7π/8} (en el semiplano izquierdo)
k=3: s₃ = e^{i9π/8} (en el semiplano izquierdo)
Estos cuatro polos se encuentran en espacios angulares iguales en el círculo unitario, todos con partes reales negativas (semiplano izquierdo).
Distancia de los polos a la circunferencia unitaria
El estabilidad teórica requiere |p| < 1. En la práctica, surgen dos preocupaciones adicionales.
Margen de Estabilidad
El margen de estabilidad de un filtro IIR es la distancia mínima de cualquier polo al círculo unitario: min_k (1 − |p_k|).
Un polo con |p| = 0.99 es técnicamente estable pero deja solo un 1% de margen. La aritmética de precisión limitada (redondeo en la representación de coeficientes y acumulación de errores de redondeo) puede mover efectivamente los polos. Si la cuantización de coeficientes desplaza un polo de 0.99 a 1.001, el filtro se vuelve inestable.
Consecuencia Geométrica
Los polos muy cerca del círculo unitario producen picos muy agudos en la respuesta en frecuencia — resonadores de anchura muy estrecha. Pero los resonadores estrechos requieren alta precisión: pequeños errores en los coeficientes desplazan significativamente la frecuencia del pico.
El comercio geométrico: agudeza del pico ∝ 1 / (1 − |p|). A medida que |p| → 1, la agudeza → ∞ pero el margen de estabilidad → 0 y la sensibilidad a los errores de coeficientes → ∞.
Secciones de Segundo Orden
Un filtro IIR de alto orden implementado como un solo polinomio es sensible numéricamente — redondear un solo coeficiente puede mover muchos polos. La solución estándar: implementarlo como una cascada de secciones de segundo orden (biquads), cada una con solo un par de polos conjugados y un par de ceros conjugados. Los errores en una sección no pueden perturbar los polos en otras.